ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 44.23 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Определите промежутки монотонности функции:

а) $y = \frac{x^2}{x^2 + 2}$

б) $y=-\frac{3x^2}{x^2+4}$

а) $y = \frac{x^2}{x^2 + 2}$

$y’ = \frac{(x^2)'(x^2 + 2) — x^2(x^2 + 2)’}{(x^2 + 2)^2}$;

$y’ = \frac{2x(x^2 + 2) — x^2 \cdot 2x}{(x^2 + 2)^2} = \frac{2x^3 + 4x — 2x^3}{(x^2 + 2)^2} = \frac{4x}{(x^2 + 2)^2}$;

Промежуток возрастания:

$\frac{4x}{(x^2 + 2)^2} \geq 0$;

$4x \geq 0$, отсюда $x \geq 0$;

Выражение имеет смысл при:

$x^2 + 2 \neq 0$;

$x^2 \neq -2$ — корней нет;

Ответ: возрастает на $[0; +\infty)$ и убывает на $(-∞; 0]$.

б) $y = -\frac{3x^2}{x^2 + 4}$

$y’ = -\frac{(3x^2)'(x^2 + 4) — 3x^2(x^2 + 4)’}{(x^2 + 4)^2}$;

$y’ = -\frac{3 \cdot 2x(x^2 + 4) — 3x^2 \cdot 2x}{(x^2 + 4)^2} = -\frac{6x^3 + 24x — 6x^3}{(x^2 + 4)^2} = -\frac{24x}{(x^2 + 4)^2}$;

Промежуток возрастания:

$-\frac{24x}{(x^2 + 4)^2} \geq 0$;

$-24x \geq 0$, отсюда $x \leq 0$;

Выражение имеет смысл при:

$x^2 + 4 \neq 0$;

$x^2 \neq -4$ — корней нет;

Ответ: возрастает на $(-∞; 0]$ и убывает на $[0; +∞)$.

а) $y = \dfrac{x^2}{x^2 + 2}$

Шаг 1: Найдём производную функции

Функция представлена как дробь:

$$y = \frac{u}{v}, \quad \text{где} \quad u = x^2,\ v = x^2 + 2$$

По правилу производной дроби:

$$\left( \frac{u}{v} \right)’ = \frac{u’v — uv’}{v^2}$$

Найдём производные числителя и знаменателя:

• $u’ = (x^2)’ = 2x$
• $v’ = (x^2 + 2)’ = 2x$

Подставим:

$$y’ = \frac{2x(x^2 + 2) — x^2 \cdot 2x}{(x^2 + 2)^2}$$

Раскроем скобки в числителе:

$$2x(x^2 + 2) = 2x^3 + 4x,\quad x^2 \cdot 2x = 2x^3$$ $$y’ = \frac{2x^3 + 4x — 2x^3}{(x^2 + 2)^2} = \frac{4x}{(x^2 + 2)^2}$$

Шаг 2: Исследуем знак производной

$$y’ = \frac{4x}{(x^2 + 2)^2}$$

Знаменатель:

• $x^2 + 2 > 0$ при любом $x \in \mathbb{R}$, так как квадрат неотрицателен, а 2 > 0
• $\Rightarrow (x^2 + 2)^2 > 0$ для всех $x$

Знак $y’$ зависит только от числителя $4x$:

• $y’ > 0$, если $4x > 0$ → $x > 0$
• $y’ = 0$, если $x = 0$
• $y’ < 0$, если $x < 0$

Шаг 3: Делим числовую прямую на интервалы

• На промежутке $(-\infty; 0)$: $y’ < 0$ ⇒ функция убывает
• В точке $x = 0$: $y’ = 0$
• На промежутке $(0; +\infty)$: $y’ > 0$ ⇒ функция возрастает

Так как в точке $x = 0$ производная равна нулю, эта точка — экстремум (точка минимума).

Шаг 4: Область определения

Знаменатель $x^2 + 2 \neq 0$ всегда, т.к. $x^2 \geq 0$ ⇒ $x^2 + 2 > 0$

Значит:

$$D(y) = \mathbb{R}$$

Шаг 5: Итог

• Функция убывает на $(-\infty; 0]$
• Функция возрастает на $[0; +\infty)$

Ответ: возрастает на $[0; +\infty)$, убывает на $(-∞; 0]$

б) $y = -\dfrac{3x^2}{x^2 + 4}$

Шаг 1: Найдём производную

Запишем:

• $u = 3x^2$, $u’ = 6x$
• $v = x^2 + 4$, $v’ = 2x$

$$y = -\frac{u}{v},\quad y’ = -\left( \frac{u’v — uv’}{v^2} \right)$$

Подставим значения:

$$y’ = -\frac{6x(x^2 + 4) — 3x^2 \cdot 2x}{(x^2 + 4)^2}$$

Раскроем числитель:

$$6x(x^2 + 4) = 6x^3 + 24x,\quad 3x^2 \cdot 2x = 6x^3$$ $$y’ = -\frac{6x^3 + 24x — 6x^3}{(x^2 + 4)^2} = -\frac{24x}{(x^2 + 4)^2}$$

Шаг 2: Анализ знака производной

$$y’ = -\frac{24x}{(x^2 + 4)^2}$$

Знаменатель всегда положителен (так как $x^2 + 4 > 0$ при любом $x$)

Значит знак производной зависит от числителя $-24x$:

• $y’ > 0$, если $-24x > 0$ → $x < 0$
• $y’ = 0$, если $x = 0$
• $y’ < 0$, если $x > 0$

Шаг 3: Делим числовую прямую на интервалы

• На $(-\infty; 0)$: $y’ > 0$ ⇒ функция возрастает
• В точке $x = 0$: $y’ = 0$
• На $(0; +\infty)$: $y’ < 0$ ⇒ функция убывает

Следовательно, $x = 0$ — точка максимума

Шаг 4: Область определения

Знаменатель $x^2 + 4 \neq 0$ всегда, т.к. $x^2 + 4 > 0$

$$D(y) = \mathbb{R}$$

Шаг 5: Вывод

• Функция возрастает на $(-\infty; 0]$
• Функция убывает на $[0; +\infty)$

Ответ: возрастает на $(-∞; 0]$, убывает на $[0; +∞)$