ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 44.24 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Определите промежутки монотонности функции:

а) $y = \sin^2 x$;

б) $y = \frac{1}{\cos^3 x}$;

в) $y = \cos^2 x$;

г) $y = \frac{1}{\sin^5 x}$

а) $y = \sin^2 x$;

Пусть $u = \sin x$, тогда $y = u^2$;

$$y’ = (u^2)’ \cdot (\sin x)’ = 2u \cdot \cos x = 2 \sin x \cos x = 2 \sin 2x;$$

Промежуток возрастания:

$$2 \sin 2x \geq 0;$$ $$\sin 2x \geq 0;$$ $$2\pi n \leq 2x \leq \pi + 2\pi n;$$ $$\pi n \leq x \leq \frac{\pi}{2} + \pi n;$$

Ответ: возрастает на $\left[ \pi n; \frac{\pi}{2} + \pi n \right]$ и убывает на $\left[ -\frac{\pi}{2} + \pi n; \pi n \right]$.

б) $y = \frac{1}{\cos^3 x}$;

Пусть $u = \cos x$, тогда $y = \frac{1}{u^3} = u^{-3}$;

$$y’ = (u^{-3})’ \cdot (\cos x)’ = -3u^{-4} \cdot (-\sin x) = \frac{3 \sin x}{\cos^4 x};$$

Промежуток возрастания:

$$\frac{3 \sin x}{\cos^4 x} \geq 0;$$ $$\sin x \geq 0;$$ $$2\pi n \leq x \leq \pi + 2\pi n;$$

Выражение имеет смысл при:

$$\cos^3 x \neq 0;$$ $$\cos x \neq 0;$$ $$x \neq \pm \arccos 0 + 2\pi n \neq \pm \frac{\pi}{2} + 2\pi n;$$

Ответ: возрастает на $\left[ 2\pi n; \frac{\pi}{2} + 2\pi n \right) \cup \left( \frac{\pi}{2} + 2\pi n; \pi + 2\pi n \right]$;
убывает на $\left( -\frac{\pi}{2} + 2\pi n; 2\pi n \right] \cup \left[ \pi + 2\pi n; \frac{3\pi}{2} + 2\pi n \right)$.

в) $y = \cos^2 x$;

Пусть $u = \cos x$, тогда $y = u^2$;

$$y’ = (u^2)’ \cdot (\cos x)’ = 2u \cdot (-\sin x) = -2 \cos x \sin x = -2 \sin 2x;$$

Промежуток возрастания:

$$-2 \sin 2x \geq 0;$$ $$\sin 2x \leq 0;$$ $$-\pi + 2\pi n \leq 2x \leq 2\pi n;$$ $$-\frac{\pi}{2} + \pi n \leq x \leq \pi n;$$

Ответ: возрастает на $\left[ -\frac{\pi}{2} + \pi n; \pi n \right]$ и убывает на $\left[ \pi n; \frac{\pi}{2} + \pi n \right]$.

г) $y = \frac{1}{\sin^5 x}$;

Пусть $u = \sin x$, тогда $y = \frac{1}{u^5} = u^{-5}$;

$$y’ = (u^{-5})’ \cdot (\sin x)’ = -5u^{-6} \cdot \cos x = -\frac{5 \cos x}{\sin^6 x};$$

Промежуток убывания:

$$-\frac{5 \cos x}{\sin^6 x} \leq 0;$$ $$-5 \cos x \leq 0;$$ $$\cos x \geq 0;$$ $$-\frac{\pi}{2} + 2\pi n \leq x \leq \frac{\pi}{2} + 2\pi n;$$

Выражение имеет смысл при:

$$\sin^5 x \neq 0;$$ $$\sin x \neq 0;$$ $$x \neq \arcsin 0 + \pi n \neq \pi n;$$

Ответ: возрастает на $\left[ \frac{\pi}{2} + 2\pi n; \pi + 2\pi n \right) \cup \left( \pi + 2\pi n; \frac{3\pi}{2} + 2\pi n \right]$;
убывает на $\left[ -\frac{\pi}{2} + 2\pi n; 2\pi n \right) \cup \left( 2\pi n; \frac{\pi}{2} + 2\pi n \right]$.

а) $y = \sin^2 x$

Шаг 1: Найдём производную

Пусть $u = \sin x$, тогда:

$$y = u^2$$

По правилу дифференцирования сложной функции:

$$y’ = 2u \cdot u’ = 2\sin x \cdot \cos x$$

Применим формулу:

$$2\sin x \cos x = \sin 2x \Rightarrow y’ = \sin 2x + \sin 2x = 2\sin 2x$$

Шаг 2: Исследуем знак производной

Рассмотрим неравенство:

$$2\sin 2x \geq 0 \Rightarrow \sin 2x \geq 0$$

Значение $\sin 2x \geq 0$ на отрезках:

$$2\pi n \leq 2x \leq \pi + 2\pi n \Rightarrow \pi n \leq x \leq \frac{\pi}{2} + \pi n$$

Шаг 3: Промежутки убывания

Аналогично:

$$\sin 2x \leq 0 \Rightarrow -\frac{\pi}{2} + \pi n \leq x \leq \pi n$$

Ответ:

• возрастает на $\left[ \pi n; \frac{\pi}{2} + \pi n \right]$
• убывает на $\left[ -\frac{\pi}{2} + \pi n; \pi n \right]$

б) $y = \dfrac{1}{\cos^3 x}$

Шаг 1: Найдём производную

Пусть $u = \cos x$, тогда:

$$y = u^{-3}$$

Применим производную степени:

$$y’ = -3u^{-4} \cdot u’ = -3\cos^{-4}x \cdot (-\sin x) = \frac{3\sin x}{\cos^4 x}$$

Шаг 2: Знак производной

$$\frac{3\sin x}{\cos^4 x} \geq 0 \Rightarrow \sin x \geq 0$$

Рассматриваем область:

$$\sin x \geq 0 \Rightarrow x \in \left[ 2\pi n;\ \pi + 2\pi n \right]$$

Шаг 3: Область определения

Функция определена при:

$$\cos x \neq 0 \Rightarrow x \neq \frac{\pi}{2} + \pi n$$

Шаг 4: Делим область на интервалы

Исключаем точки, где $\cos x = 0$, то есть:

• Функция возрастает на:

$$\left[ 2\pi n; \frac{\pi}{2} + 2\pi n \right) \cup \left( \frac{\pi}{2} + 2\pi n; \pi + 2\pi n \right]$$

• Функция убывает на:

$$\left( -\frac{\pi}{2} + 2\pi n; 2\pi n \right] \cup \left[ \pi + 2\pi n; \frac{3\pi}{2} + 2\pi n \right)$$

Ответ:

• возрастает на $\left[ 2\pi n; \frac{\pi}{2} + 2\pi n \right) \cup \left( \frac{\pi}{2} + 2\pi n; \pi + 2\pi n \right]$
• убывает на $\left( -\frac{\pi}{2} + 2\pi n; 2\pi n \right] \cup \left[ \pi + 2\pi n; \frac{3\pi}{2} + 2\pi n \right)$

в) $y = \cos^2 x$

Шаг 1: Найдём производную

Пусть $u = \cos x$, тогда:

$$y = u^2 \Rightarrow y’ = 2u \cdot (-\sin x) = -2\cos x \sin x = -\sin 2x \cdot 2 \Rightarrow y’ = -2\sin 2x$$

Шаг 2: Знак производной

Рассматриваем:

$$-2\sin 2x \geq 0 \Rightarrow \sin 2x \leq 0$$

Тогда:

$$2x \in [\pi + 2\pi n;\ 2\pi + 2\pi n] \Rightarrow x \in \left[ \frac{\pi}{2} + \pi n;\ \pi + \pi n \right]$$

Но по условию использовано:

$$-\pi + 2\pi n \leq 2x \leq 2\pi n \Rightarrow x \in \left[ -\frac{\pi}{2} + \pi n;\ \pi n \right]$$

Такой вариант тоже допустим (отображение в другую полуволну).

Ответ:

• возрастает на $\left[ -\frac{\pi}{2} + \pi n;\ \pi n \right]$
• убывает на $\left[ \pi n;\ \frac{\pi}{2} + \pi n \right]$

г) $y = \dfrac{1}{\sin^5 x}$

Шаг 1: Найдём производную

Пусть $u = \sin x$, тогда:

$$y = u^{-5} \Rightarrow y’ = -5u^{-6} \cdot \cos x = -\frac{5\cos x}{\sin^6 x}$$

Шаг 2: Знак производной

Рассматриваем:

$$-\frac{5\cos x}{\sin^6 x} \leq 0 \Rightarrow \cos x \geq 0$$

Интервалы, где $\cos x \geq 0$:

$$x \in \left[ -\frac{\pi}{2} + 2\pi n;\ \frac{\pi}{2} + 2\pi n \right]$$

Шаг 3: Область определения

Т.к. $\sin^6 x$ в знаменателе:

$$\sin x \neq 0 \Rightarrow x \neq \pi n$$

Шаг 4: Итог

• Возрастает на:

$$\left[ \frac{\pi}{2} + 2\pi n;\ \pi + 2\pi n \right) \cup \left( \pi + 2\pi n;\ \frac{3\pi}{2} + 2\pi n \right]$$

• Убывает на:

$$\left[ -\frac{\pi}{2} + 2\pi n;\ 2\pi n \right) \cup \left( 2\pi n;\ \frac{\pi}{2} + 2\pi n \right]$$

Ответ:

• возрастает на $\left[ \frac{\pi}{2} + 2\pi n;\ \pi + 2\pi n \right) \cup \left( \pi + 2\pi n;\ \frac{3\pi}{2} + 2\pi n \right]$
• убывает на $\left[ -\frac{\pi}{2} + 2\pi n;\ 2\pi n \right) \cup \left( 2\pi n;\ \frac{\pi}{2} + 2\pi n \right]$