ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 44.25 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Определите промежутки монотонности функции:

а) $y = \sqrt{x^2 — 6x + 8}$;

б) $y = \sqrt{5x — 2 — 2x^2}$

а) $y = \sqrt{x^2 — 6x + 8}$;

Пусть $u = x^2 — 6x + 8$, тогда $y = \sqrt{u}$;

$$y’ = (\sqrt{u})’ \cdot (x^2 — 6x + 8)’ = \frac{1}{2\sqrt{u}} \cdot (2x — 6) = \frac{x — 3}{\sqrt{x^2 — 6x + 8}};$$

Промежуток возрастания:

$$\frac{x — 3}{\sqrt{x^2 — 6x + 8}} \geq 0;$$ $$x — 3 \geq 0, \text{ отсюда } x \geq 3;$$

Выражение имеет смысл при:

$$x^2 — 6x + 8 \geq 0;$$ $$D = 6^2 — 4 \cdot 8 = 36 — 32 = 4, \text{ тогда: }$$ $$x_1 = \frac{6 — 2}{2} = 2 \text{ и } x_2 = \frac{6 + 2}{2} = 4;$$ $$(x — 2)(x — 4) \geq 0;$$ $$x \leq 2 \text{ или } x \geq 4;$$

Ответ: возрастает на $[4; +\infty)$ и убывает на $(-∞; 2]$.

б) $y = \sqrt{5x — 2 — 2x^2}$;

Пусть $u = 5x — 2 — 2x^2$, тогда $y = \sqrt{u}$;

$$y’ = (\sqrt{u})’ \cdot (5x — 2 — 2x^2)’ = \frac{1}{2\sqrt{u}} \cdot (5 — 2 \cdot 2x) = \frac{5 — 4x}{2\sqrt{5x — 2 — 2x^2}}.$$

Промежуток возрастания:

$$\frac{5 — 4x}{2\sqrt{5x — 2 — 2x^2}} \geq 0;$$ $$5 — 4x \geq 0;$$ $$5 \geq 4x, \text{ отсюда } x \leq 1\frac{1}{4};$$

Выражение имеет смысл при:

$$-2x^2 + 5x — 2 \geq 0;$$ $$D = 5^2 — 4 \cdot 2 \cdot 2 = 25 — 16 = 9, \text{ тогда: }$$ $$x_1 = \frac{-5 — 3}{-2 \cdot 2} = \frac{8}{4} = 2 \text{ и } x_2 = \frac{-5 + 3}{-2 \cdot 2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2};$$ $$-2\left(x — \frac{1}{2}\right)(x — 2) \geq 0;$$ $$\frac{1}{2} \leq x \leq 2;$$

Ответ: возрастает на $\left[\frac{1}{2}; 1\frac{1}{4}\right]$ и убывает на $\left[1\frac{1}{4}; 2\right]$.

а) $y = \sqrt{x^2 — 6x + 8}$

Шаг 1: Производная

Пусть

$$u = x^2 — 6x + 8,\quad \text{тогда } y = \sqrt{u} = u^{1/2}$$

Применим производную сложной функции:

$$y’ = \frac{1}{2\sqrt{u}} \cdot u’ = \frac{1}{2\sqrt{x^2 — 6x + 8}} \cdot (2x — 6)$$

Упростим:

$$y’ = \frac{2x — 6}{2\sqrt{x^2 — 6x + 8}} = \frac{x — 3}{\sqrt{x^2 — 6x + 8}}$$

Шаг 2: Найдём, где производная ≥ 0 (монотонность)

$$y’ = \frac{x — 3}{\sqrt{x^2 — 6x + 8}} \geq 0$$

Разберём числитель и знаменатель:

• Знаменатель $\sqrt{x^2 — 6x + 8} \geq 0$, но существует только при $x^2 — 6x + 8 \geq 0$
• Числитель $x — 3 \geq 0 \Rightarrow x \geq 3$

Шаг 3: Область определения

Решим неравенство:

$$x^2 — 6x + 8 \geq 0$$

Решим квадратное уравнение:

$$x^2 — 6x + 8 = 0 \Rightarrow D = (-6)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 8 = 36 — 32 = 4$$

Корни:

$$x_1 = \frac{6 — 2}{2} = 2,\quad x_2 = \frac{6 + 2}{2} = 4$$

Так как ветви параболы вверх ($a > 0$), то:

$$x^2 — 6x + 8 \geq 0 \quad \Rightarrow \quad x \leq 2 \quad \text{или} \quad x \geq 4$$

Шаг 4: Учитываем вместе область определения и знак производной

• Функция определена при $x \leq 2$ или $x \geq 4$
• Функция возрастает, если $x \geq 3$

Значит, пересекаем $x \geq 3$ и $x \geq 4$:

$$\text{Функция возрастает на } [4; +\infty)$$

А убывает на другом допустимом интервале:

$$\text{Функция убывает на } (-\infty; 2]$$

Ответ:

• Возрастает на $[4; +\infty)$
• Убывает на $(-\infty; 2]$

б) $y = \sqrt{5x — 2 — 2x^2}$

Шаг 1: Производная

Пусть

$$u = 5x — 2 — 2x^2,\quad y = \sqrt{u} = u^{1/2}$$ $$y’ = \frac{1}{2\sqrt{u}} \cdot u’ = \frac{1}{2\sqrt{5x — 2 — 2x^2}} \cdot (5 — 4x)$$ $$y’ = \frac{5 — 4x}{2\sqrt{5x — 2 — 2x^2}}$$

Шаг 2: Найдём, где производная ≥ 0 (монотонность)

$$\frac{5 — 4x}{2\sqrt{5x — 2 — 2x^2}} \geq 0$$

• Знаменатель положителен при $5x — 2 — 2x^2 > 0$
• Числитель $5 — 4x \geq 0 \Rightarrow x \leq \frac{5}{4} = 1{,}25$

Шаг 3: Область определения

Найдём область, при которой подкоренное выражение $5x — 2 — 2x^2 \geq 0$

Преобразуем:

$$-2x^2 + 5x — 2 \geq 0$$

Решим уравнение:

$$-2x^2 + 5x — 2 = 0 \Rightarrow D = 25 — 16 = 9$$

Корни:

$$x_{1,2} = \frac{-5 \pm \sqrt{9}}{-4} = \frac{-5 \pm 3}{-4} \Rightarrow x_1 = \frac{-8}{-4} = 2,\quad x_2 = \frac{-2}{-4} = \frac{1}{2}$$

Так как парабола ветвями вниз ($a < 0$), знак неравенства $\geq 0$ означает:

$$\frac{1}{2} \leq x \leq 2$$

Шаг 4: Учитываем вместе область определения и знак производной

• Область определения: $x \in \left[\frac{1}{2}; 2\right]$
• Возрастание: $x \leq \frac{5}{4}$

Пересекаем:

$$\text{Функция возрастает на } \left[\frac{1}{2}; \frac{5}{4}\right]$$ $$\text{Функция убывает на } \left[\frac{5}{4}; 2\right]$$

Ответ:

• Возрастает на $\left[ \frac{1}{2}; 1\frac{1}{4} \right]$
• Убывает на $\left[ 1\frac{1}{4}; 2 \right]$