ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 44.26 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Определите промежутки монотонности функции:

а) $y = \arcsin x^2$;

б) $y = \operatorname{arcctg} \sqrt{x}$;

в) $y = \arccos \sqrt{x}$;

г) $y = \operatorname{arctg}^2 x$

Область определения обратных тригонометрических функций:

$D(x) = [-1; 1]$ для $\cos a$ и $\sin a$;

$D(x) = (-\infty; +\infty)$ для $\operatorname{tg} a$ и $\operatorname{ctg} a$;

а) $y = \arcsin x^2$;

Пусть $u = x^2$, тогда $y = \arcsin u$;

$$y’ = (\arcsin u)’ \cdot (x^2)’ = \frac{1}{\sqrt{1 — u^2}} \cdot 2x = \frac{2x}{\sqrt{1 — x^4}};$$

Промежуток возрастания:

$$\frac{2x}{\sqrt{1 — x^4}} \geq 0;$$ $$2x \geq 0, \text{ отсюда } x \geq 0;$$

Выражение имеет смысл при:

$$x^2 \leq 1, \text{ отсюда } -1 \leq x \leq 1;$$

Ответ: возрастает на $[0; 1]$ и убывает на $[-1; 0]$.

б) $y = \operatorname{arcctg} \sqrt{x}$;

Пусть $u = \sqrt{x}$, тогда $y = \operatorname{arcctg} u$;

$$y’ = (\operatorname{arcctg} u)’ \cdot (\sqrt{x})’ = -\frac{1}{1 + u^2} \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}} = -\frac{1}{2(1 + x)\sqrt{x}};$$

Промежуток возрастания:

$$-\frac{1}{2(1 + x)\sqrt{x}} \geq 0;$$ $$-(1 + x) \geq 0;$$ $$1 + x \leq 0, \text{ отсюда } x \leq -1;$$

Выражение имеет смысл при: $x \geq 0$;

Ответ: убывает на $[0; +\infty)$.

в) $y = \arccos \sqrt{x}$;

Пусть $u = \sqrt{x}$, тогда $y = \arccos u$;

$$y’ = (\arccos u)’ \cdot (\sqrt{x})’ = -\frac{1}{\sqrt{1 — u^2}} \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}} = -\frac{1}{2\sqrt{1 — x} \cdot \sqrt{x}};$$ $$\sqrt{1 — x} \geq 0 \text{ и } \sqrt{x} \geq 0, \text{ значит } y’ < 0 \text{ при любом значении } x;$$

Выражение имеет смысл при:

$$\sqrt{x} \geq 0, \text{ отсюда } x \geq 0;$$ $$\sqrt{x} \leq 1, \text{ отсюда } x \leq 1;$$

Ответ: убывает на $[0; 1]$.

г) $y = \operatorname{arctg}^2 x$;

Пусть $u = \operatorname{arctg} x$, тогда $y = u^2$;

$$y’ = (u^2)’ \cdot (\operatorname{arctg} x)’ = 2u \cdot \frac{1}{1 + x^2} = \frac{2 \operatorname{arctg} x}{1 + x^2};$$

Промежуток возрастания:

$$\frac{2 \operatorname{arctg} x}{1 + x^2} \geq 0;$$ $$2 \operatorname{arctg} x \geq 0;$$ $$\operatorname{arctg} x \geq 0, \text{ отсюда } x \geq 0;$$

Ответ: возрастает на $[0; +\infty)$ и убывает на $(-∞; 0]$.

Области определения для обратных тригонометрических функций:

• $\arcsin u$, $\arccos u$: определены при $u \in [-1; 1]$
• $\arctg u$, $\arcctg u$: определены при $u \in (-\infty; +\infty)$

а) $y = \arcsin(x^2)$

Шаг 1: Найдём производную

Пусть $u = x^2$, тогда $y = \arcsin(u)$

Применим правило производной сложной функции:

$$y’ = \frac{1}{\sqrt{1 — u^2}} \cdot u’ = \frac{1}{\sqrt{1 — x^4}} \cdot 2x = \frac{2x}{\sqrt{1 — x^4}}$$

Шаг 2: Исследуем знак производной

$$y’ = \frac{2x}{\sqrt{1 — x^4}} \geq 0$$

Так как знаменатель всегда положителен (в области определения), знак производной зависит от числителя:

• $2x \geq 0 \Rightarrow x \geq 0$

Шаг 3: Область определения функции

Чтобы $\arcsin(x^2)$ была определена:

$$x^2 \in [-1; 1] \Rightarrow x^2 \leq 1 \Rightarrow -1 \leq x \leq 1$$

Шаг 4: Делим область на интервалы

• Возрастание: $x \in [0; 1]$
• Убывание: $x \in [-1; 0]$

Ответ:

• Возрастает на $[0; 1]$
• Убывает на $[-1; 0]$

б) $y = \arcctg(\sqrt{x})$

Шаг 1: Найдём производную

Пусть $u = \sqrt{x}$, тогда $y = \arcctg(u)$

Производная arcctg:

$$(\arcctg u)’ = -\frac{1}{1 + u^2}$$

Также $(\sqrt{x})’ = \frac{1}{2\sqrt{x}}$

Итак:

$$y’ = -\frac{1}{1 + u^2} \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}} = -\frac{1}{2(1 + x)\sqrt{x}}$$

Шаг 2: Анализ производной

$$y’ = -\frac{1}{2(1 + x)\sqrt{x}} \leq 0$$

• Числитель отрицательный
• Знаменатель положительный при $x > 0$
• При $x = 0$ производная не существует

Значит:

• $y’ < 0$ при $x > 0$
• Убывает на $(0; +\infty)$

Шаг 3: Область определения

• $\sqrt{x}$ определена при $x \geq 0$
• Значит $D(y) = [0; +\infty)$

Шаг 4: Вывод

Функция убывает на $(0; +\infty)$, в точке $x = 0$ производная не существует, но значение функции определено.

Ответ: убывает на $[0; +\infty)$

в) $y = \arccos(\sqrt{x})$

Шаг 1: Найдём производную

Пусть $u = \sqrt{x}$, тогда:

$$y = \arccos(u) \Rightarrow y’ = -\frac{1}{\sqrt{1 — u^2}} \cdot u’ = -\frac{1}{\sqrt{1 — x} \cdot 2\sqrt{x}} = -\frac{1}{2\sqrt{1 — x} \cdot \sqrt{x}}$$

Шаг 2: Знак производной

Все множители положительны при $x \in (0; 1)$, значит:

• $y’ < 0$ при $x \in (0; 1)$

Шаг 3: Область определения

• $\sqrt{x} \leq 1 \Rightarrow x \leq 1$
• $\sqrt{x}$ определена при $x \geq 0$

Значит:

$$D(y) = [0; 1]$$

Шаг 4: Вывод

Производная отрицательна на всём интервале $(0; 1)$, в точках $0$ и $1$ функция определена.

Ответ: убывает на $[0; 1]$

г) $y = \arctg^2 x$

Шаг 1: Найдём производную

Пусть $u = \arctg x$, тогда $y = u^2$

Применим цепное правило:

$$y’ = 2u \cdot u’ = 2 \cdot \arctg x \cdot \frac{1}{1 + x^2} = \frac{2 \arctg x}{1 + x^2}$$

Шаг 2: Знак производной

• Знаменатель $1 + x^2 > 0$ всегда
• Знак производной определяется по $\arctg x$

$$\arctg x \geq 0 \Rightarrow x \geq 0$$

Шаг 3: Область определения

• $\arctg x$ определена при всех $x \in \mathbb{R}$

Шаг 4: Делим область на интервалы

• $x < 0 \Rightarrow \arctg x < 0 \Rightarrow y’ < 0$
• $x = 0 \Rightarrow y’ = 0$
• $x > 0 \Rightarrow y’ > 0$

Ответ:

• Возрастает на $[0; +\infty)$
• Убывает на $(-\infty; 0]$