ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 44.27 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Определите промежутки монотонности функции:

а) $y=\{\begin{array}{l}2x^3-6x,\text{ если }x\ge -1\\ x^2+2x+3,\text{ если }x<-1\end{array}$

б) $y=\{\begin{array}{l}3x^4-4x^3,\text{ если }x\le 2\\ -x^2+4x+12,\text{ если }x>2\end{array}$

а) $y = \begin{cases} 2x^3 — 6x, \text{ если } x \geq -1 \\ x^2 + 2x + 3, \text{ если } x < -1 \end{cases}$

Первая функция:
$y’ = 2(x^3)’ — (6x)’ = 2 \cdot 3x^2 — 6 = 6x^2 — 6$;
Промежуток возрастания:
$6x^2 — 6 \geq 0;$
$x^2 — 1 \geq 0;$
$x^2 \geq 1$, отсюда $x \leq -1$ или $x \geq 1$;

Вторая функция:
$y’ = (x^2)’ + (2x + 3)’ = 2x + 2;$
Промежуток возрастания:
$2x + 2 \geq 0;$
$x + 1 \geq 0$, отсюда $x \geq -1$;

Ответ: возрастает на $[1; +\infty)$ и убывает на $(-\infty; -1] \cup [-1; 1]$

б) $y = \begin{cases} 3x^4 — 4x^3, \text{ если } x \leq 2 \\ -x^2 + 4x + 12, \text{ если } x > 2 \end{cases}$

Первая функция:
$y’ = 3(x^4)’ — 4(x^3)’ = 3 \cdot 4x^3 — 4 \cdot 3x^2 = 12x^3 — 12x^2;$
Промежуток возрастания:
$12x^3 — 12x^2 \geq 0;$
$x^3 — x^2 \geq 0;$
$x^2(x — 1) \geq 0;$
$x — 1 \geq 0$, отсюда $x \geq 1$;

Вторая функция:
$y’ = -(x^2)’ + (4x + 12)’ = -2x + 4;$
Промежуток возрастания:
$-2x + 4 \geq 0;$
$4 \geq 2x$, отсюда $x \leq 2$;

Ответ: возрастает на $[1; 2]$ и убывает на $(-\infty; 1] \cup [2; +\infty)$.

а)

Дана функция:

$$y = \begin{cases} 2x^3 — 6x, & \text{если } x \geq -1 \\ x^2 + 2x + 3, & \text{если } x < -1 \end{cases}$$

1. Исследуем первую функцию: $y = 2x^3 — 6x$ при $x \geq -1$

Шаг 1: Найдём производную

$$y’ = \frac{d}{dx}(2x^3 — 6x) = 2 \cdot \frac{d}{dx}(x^3) — 6 \cdot \frac{d}{dx}(x) = 2 \cdot 3x^2 — 6 = 6x^2 — 6$$

Шаг 2: Определим интервалы возрастания/убывания

Чтобы найти, где функция возрастает, решим неравенство:

$$y’ \geq 0 \Rightarrow 6x^2 — 6 \geq 0$$

Делим обе части на 6:

$$x^2 — 1 \geq 0$$

Решим неравенство:

$$x^2 \geq 1 \Rightarrow x \leq -1 \quad \text{или} \quad x \geq 1$$

Учитываем область определения этой ветви функции: $x \geq -1$
Тогда остаются подходящие интервалы:

• $x = -1$ — граничная точка
• $x \geq 1$ — функция возрастает
• $-1 < x < 1$ — производная $< 0$, функция убывает

2. Исследуем вторую функцию: $y = x^2 + 2x + 3$ при $x < -1$

Шаг 1: Найдём производную

$$y’ = \frac{d}{dx}(x^2 + 2x + 3) = 2x + 2$$

Шаг 2: Определим, где функция возрастает:

$$2x + 2 \geq 0 \Rightarrow x + 1 \geq 0 \Rightarrow x \geq -1$$

Но область определения этой ветви: $x < -1$
Значит, во всей своей области $x < -1$, производная $< 0$, и функция убывает.

Объединяем результат:

• Функция убывает на интервале $(-\infty, -1) \cup (-1, 1)$
• Функция возрастает на интервале $[1, +\infty)$

Ответ:

$$\text{возрастает на } [1; +\infty), \quad \text{убывает на } (-\infty; -1) \cup [-1; 1]$$

б)

$$y = \begin{cases} 3x^4 — 4x^3, & \text{если } x \leq 2 \\ -x^2 + 4x + 12, & \text{если } x > 2 \end{cases}$$

1. Первая функция: $y = 3x^4 — 4x^3$, при $x \leq 2$

Шаг 1: Найдём производную

$$y’ = \frac{d}{dx}(3x^4 — 4x^3) = 3 \cdot 4x^3 — 4 \cdot 3x^2 = 12x^3 — 12x^2$$

Шаг 2: Определим, где производная ≥ 0:

$$12x^3 — 12x^2 \geq 0 \Rightarrow 12x^2(x — 1) \geq 0$$

Решаем неравенство:

$$x^2(x — 1) \geq 0$$

Рассмотрим знаки множителей:

• $x^2 \geq 0$ всегда, но равно 0 только при $x = 0$
• $x — 1 \geq 0 \Rightarrow x \geq 1$

Объединяя условия:

$$x \geq 1 \Rightarrow y’ \geq 0 \text{ (функция возрастает)}$$

Учитываем область определения ветви: $x \leq 2$
Значит функция возрастает на отрезке $[1; 2]$,
и убывает при $x < 1$

2. Вторая функция: $y = -x^2 + 4x + 12$, при $x > 2$

Шаг 1: Найдём производную

$$y’ = \frac{d}{dx}(-x^2 + 4x + 12) = -2x + 4$$

Шаг 2: Решим неравенство $y’ \geq 0$:

$$-2x + 4 \geq 0 \Rightarrow -2x \geq -4 \Rightarrow x \leq 2$$

Учитываем область этой ветви: $x > 2$
Следовательно, на всей своей области производная < 0,
то есть функция убывает при $x > 2$

Объединяем результат:

• Функция возрастает на интервале $[1; 2]$
• Функция убывает на $(-\infty; 1) \cup [2; +\infty)$

Ответ:

$$\text{возрастает на } [1; 2], \quad \text{убывает на } (-\infty; 1) \cup [2; +\infty)$$