ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 44.28 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Определите промежутки монотонности функции:

а) $$$y=\{\begin{array}{ll}{x}^5-5x^4+1,& \text{если }x\ge 0\\ (x+2{)}^2-3,& \text{если }x<0\end{array}$

б) $$$y=\{\begin{array}{ll}-3x^5+5x^3-2,& \text{если }x\ge -1\\ \frac{4}{x},& \text{если }x<-1\end{array}$

а) $$$y = \begin{cases} x^5 — 5x^4 + 1, & \text{если } x \geq 0 \\ (x+2)^2 — 3, & \text{если } x < 0 \end{cases}$

Первая функция:
$y’ = (x^5)’ — 5(x^4)’ + (1)’ = 5x^4 — 5 \cdot 4x^3 + 0 = 5x^4 — 20x^3;$
Промежуток возрастания:
$5x^4 — 20x^3 \geq 0;$
$5x^3(x — 4) \geq 0;$
$x \leq 0 \text{ или } x \geq 4;$

Вторая функция:
$y’ = (x+2)^2)’ — (3)’ = 2(x+2) — 0 = 2x + 4;$
Промежуток возрастания:
$2x + 4 \geq 0;$
$2x \geq -4, \text{ отсюда } x \geq -2;$

Ответ: возрастает на $[-2; 0] \cup [4; +\infty)$ и убывает на $(-\infty; -2] \cup [0; 4]$.

б) $$$y = \begin{cases} -3x^5 + 5x^3 — 2, & \text{если } x \geq -1 \\ \frac{4}{x}, & \text{если } x < -1 \end{cases}$

Первая функция:
$y’ = -3(x^5)’ + 5(x^3)’ — (2)’ = -3 \cdot 5x^4 + 5 \cdot 3x^2 — 0 = -15x^4 + 15x^2;$
Промежуток возрастания:
$-15x^4 + 15x^2 \geq 0;$
$15x^2(1 — x^2) \geq 0;$
$15x^2(1-x)(1+x) \geq 0;$
$-1 \leq x \leq 1;$

Вторая функция:
$y’ = 4 \left( \frac{1}{x} \right)’ = 4 \cdot \left( -\frac{1}{x^2} \right) = -\frac{4}{x^2};$
$x^2 \geq 0$, значит $y’ < 0$ при любом значении $x$;
Выражение имеет смысл при: $x \neq 0$;

Ответ: возрастает на $[-1; 1]$ и убывает на $(-\infty; -1] \cup [1; +\infty)$.

а)

Дана функция:

$$y = \begin{cases} x^5 — 5x^4 + 1, & \text{если } x \geq 0 \\ (x+2)^2 — 3, & \text{если } x < 0 \end{cases}$$

Найти промежутки возрастания и убывания функции. Для этого нужно:

• Найти производную на каждом участке;
• Решить неравенство $y'(x) \geq 0$, чтобы определить возрастание;
• Где производная отрицательна — убывание.

1) Первая часть функции: $y = x^5 — 5x^4 + 1$, при $x \geq 0$

Находим производную:

$$y^{\mathrm{\prime }}=\frac{d}{dx}(x^5-5x^4+1)=\frac{d}{dx}(x^5)-5\frac{d}{dx}(x^4)+\frac{d}{dx}(1)=$$

$$y’ = \frac{d}{dx}(x^5 — 5x^4 + 1) = \frac{d}{dx}(x^5) — 5\frac{d}{dx}(x^4) + \frac{d}{dx}(1) = 5x^4 — 20x^3 + 0 = 5x^4 — 20x^3$$

Теперь решим неравенство:

$$5x^4 — 20x^3 \geq 0$$

Вынесем общий множитель:

$$5x^3(x — 4) \geq 0$$

Проанализируем знак выражения $5x^3(x — 4)$:

• $x^3 \geq 0$ при $x \geq 0$
• $x — 4 \geq 0$ при $x \geq 4$

Разберем интервалы:

• $x \in [0; 4]$:
  $x^3 \geq 0$, $x — 4 \leq 0$ → произведение $\leq 0$
• $x \in [4; +\infty)$:
  $x^3 \geq 0$, $x — 4 \geq 0$ → произведение $\geq 0$

Решение:

$$x \in [0] \cup [4; +\infty)$$

(Внимание: знак неравенства «больше либо равно», поэтому точки 0 и 4 включаются.)

Следовательно, функция возрастает на $[0] \cup [4; +\infty)$, убывает на $(0; 4)$

2) Вторая часть функции: $y = (x+2)^2 — 3$, при $x < 0$

Найдем производную:

$$y’ = \frac{d}{dx}((x+2)^2 — 3) = 2(x + 2) — 0 = 2x + 4$$

Решим неравенство:

$$2x + 4 \geq 0 \Rightarrow 2x \geq -4 \Rightarrow x \geq -2$$

Теперь учитываем область определения: $x < 0$

Следовательно, промежуток возрастания здесь:

$$x \in [-2; 0)$$

А убывание — при $x < -2$

Ответ к пункту а)

Функция возрастает на:

$$[-2; 0) \cup [4; +\infty)$$

Функция убывает на:

$$(-\infty; -2) \cup (0; 4)$$

Если включить $x = 0$ (так как он входит в правую часть определения), то можно записать:

Возрастает на: $[ -2; 0 ] \cup [4; +\infty )$
Убывает на: $( -\infty; -2 ) \cup (0; 4)$

б)

Дана функция:

$$y = \begin{cases} -3x^5 + 5x^3 — 2, & \text{если } x \geq -1 \\ \frac{4}{x}, & \text{если } x < -1 \end{cases}$$

1) Первая часть: $y = -3x^5 + 5x^3 — 2$, при $x \geq -1$

Найдем производную:

$$y^{\mathrm{\prime }}=\frac{d}{dx}(-3x^5+5x^3-2)=-3\cdot 5x^4+5\cdot 3x^2+0=$$

$$y’ = \frac{d}{dx}(-3x^5 + 5x^3 — 2) = -3 \cdot 5x^4 + 5 \cdot 3x^2 + 0 = -15x^4 + 15x^2$$

Решим неравенство:

$$-15x^4 + 15x^2 \geq 0$$

Вынесем множитель:

$$15x^2(-x^2 + 1) \geq 0 \Rightarrow 15x^2(1 — x^2) \geq 0$$

Разложим:

$$15x^2(1 — x)(1 + x) \geq 0$$

Определим знаки на интервалах, используя метод интервалов.

Нули выражения: $x = 0, 1, -1$

Рассмотрим интервалы:

• $x < -1$: $x^2 > 0$, $1 — x < 0$, $1 + x < 0$ → 3 минуса → минус
• $x \in (-1; 0)$: $x^2 > 0$, $1 — x > 0$, $1 + x > 0$ → всё положительно
• $x \in (0; 1)$: то же самое → положительно
• $x > 1$: $x^2 > 0$, $1 — x < 0$, $1 + x > 0$ → один минус → минус

Где выражение ≥ 0:

$$x \in [-1; 1]$$

2) Вторая часть: $y = \frac{4}{x}, \quad x < -1$

Находим производную:

$$y’ = \frac{d}{dx} \left( \frac{4}{x} \right) = 4 \cdot \left( -\frac{1}{x^2} \right) = -\frac{4}{x^2}$$

Заметим:

• $x^2 > 0$ при любом $x \ne 0$
• Значит, $y’ = -\frac{4}{x^2} < 0$ на всём множестве $x < -1$

Значит, функция убывает на всём промежутке $(-\infty; -1)$

Ответ к пункту б)

• Функция возрастает на $[-1; 1]$
• Функция убывает на $(-\infty; -1) \cup [1; +\infty)$