ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 44.3 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

На каком из указанных промежутков функция $y = f(x)$ убывает, если график её производной представлен на рис. 102:

а) $(-2; 1)$;
б) $(-∞; 4)$;
в) $(4; +∞)$;
г) $(-∞; -2)$?

а) $(-2; 1)$;
Производная функции положительна на всем промежутке, значит:
функция возрастает;

б) $(-∞; 4)$;
Производная функции положительна на всем промежутке, значит:
функция возрастает;

в) $(4; +∞)$;
Производная функции отрицательна на всем промежутке, значит:
функция убывает;

г) $(-∞; -2)$;
Производная функции положительна на всем промежутке, значит:
функция возрастает;

Ответ: в.

На каком из указанных промежутков функция $y = f(x)$ убывает, если график её производной $f'(x)$ представлен на рисунке 102?

Даны промежутки:

а) $(-2; 1)$
б) $(-∞; 4)$
в) $(4; +∞)$
г) $(-∞; -2)$

1. Понимание связи между функцией и её производной

Функция $y = f(x)$ убывает, когда её производная $f'(x) < 0$ (то есть ниже оси $x$, имеет отрицательные значения).

Функция $y = f(x)$ возрастает, когда её производная $f'(x) > 0$ (то есть выше оси $x$, имеет положительные значения).

Поэтому, чтобы определить, где функция убывает, нужно найти промежуток, где производная отрицательна.

2. Рассмотрим каждый промежуток по отдельности

а) $(-2; 1)$

• Смотрим на график производной $f'(x)$ от $x = -2$ до $x = 1$.
• Если в этом промежутке $f'(x) > 0$, то функция возрастает.
• Из графика видно:
  — Вся кривая на этом участке находится выше оси $x$.
  — Это значит: $f'(x) > 0$ на всём промежутке $(-2; 1)$.

Вывод: На промежутке $(-2; 1)$ функция возрастает, не убывает.

б) $(-∞; 4)$

• Смотрим на график производной на всём интервале от минус бесконечности до 4.
• Нас интересует: есть ли на этом промежутке участки, где $f'(x) < 0$?
• Но из графика видно:
  — На всём промежутке до $x = 4$, график находится выше оси $x$.
  — То есть $f'(x) > 0$ на всём промежутке.

Вывод: На промежутке $(-∞; 4)$ функция возрастает, не убывает.

в) $(4; +∞)$

• Смотрим на график от $x = 4$ до $+\infty$.
• Из графика видно:
  — Начиная с точки $x = 4$, график уходит ниже оси $x$.
  — Это означает: $f'(x) < 0$ на всём этом промежутке.

Вывод: На промежутке $(4; +∞)$ производная отрицательна, значит функция убывает.

г) $(-∞; -2)$

• Рассматриваем производную при $x < -2$.
• Из графика видно:
  — При всех $x < -2$, кривая находится выше оси $x$.
  — Это означает: $f'(x) > 0$

Вывод: На промежутке $(-∞; -2)$ функция возрастает, не убывает.

3. Ответ

Из всех четырёх вариантов только в пункте (в) — на промежутке $(4; +∞)$ — производная отрицательна, а значит функция убывает.