ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 44.31 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

При каких значениях параметра а функция возрастает на всей числовой прямой:

а) $y = x^3 + ax$;

б) $y = \frac{x^3}{3} — ax^2 + 5x — 3$

а) $y = x^3 + ax$;
$y’ = (x^3)’ + a(x)’ = 3x^2 + a$;
Производная неотрицательна:
$3x^2 + a \geq 0$;
$D = 0^2 — 4 \cdot 3 \cdot a = -12a$;
$-12a \leq 0$, отсюда $a \geq 0$;
Ответ: $a \leq 0$.

б) $y = \frac{x^3}{3} — ax^2 + 5x — 3$;
$y’ = \frac{1}{3}(x^3)’ — a(x^2)’ + (5x — 3)’$;
$y’ = \frac{1}{3} \cdot 3x^2 — 2ax + 5 = x^2 — 2ax + 5$;
Производная неотрицательна:
$x^2 — 2ax + 5 \geq 0$;
$D = (2a)^2 — 4 \cdot 5 = 4a^2 — 20$;
$4a^2 — 20 \leq 0$;
$a^2 — 5 \leq 0$;
$a^2 \leq 5$, отсюда $-\sqrt{5} \leq a \leq \sqrt{5}$;
Ответ: $-\sqrt{5} \leq a \leq \sqrt{5}$.

а) $y = x^3 + ax$

Нахождение производной:

Мы имеем функцию $y = x^3 + ax$. Чтобы найти производную функции, применим правила дифференцирования:

• Производная от $x^3$ по $x$ равна $3x^2$.
• Производная от $ax$ по $x$ равна $a$, так как $a$ — константа.

Таким образом, производная функции $y$ будет:

$$y’ = (x^3)’ + a(x)’ = 3x^2 + a.$$

Условие неотрицательности производной:

Нам нужно найти такие значения параметра $a$, при которых производная неотрицательна для всех значений $x$. То есть, нужно решить неравенство:

$$3x^2 + a \geq 0.$$

Это неравенство должно выполняться для всех $x$. Рассмотрим его при $x = 0$:

$$3 \cdot 0^2 + a = a \geq 0.$$

Получается, что $a \geq 0$. Это условие гарантирует, что при $x = 0$ производная неотрицательна.

Дискриминант для анализа:

Чтобы полностью убедиться, что выражение $3x^2 + a \geq 0$ выполняется для всех $x$, нам нужно проанализировать его через дискриминант. Для этого можем рассмотреть соответствующее квадратное уравнение:

$$3x^2 + a = 0.$$

Это уравнение имеет вид $3x^2 = -a$, и его дискриминант будет:

$$D = 0^2 — 4 \cdot 3 \cdot (-a) = -12a.$$

У нас есть квадратное уравнение, и его дискриминант должен быть неотрицательным, чтобы уравнение имело решения (в случае если $a \geq 0$).

Таким образом, для того чтобы дискриминант был неотрицательным, должно выполняться:

$$-12a \geq 0 \quad \Rightarrow \quad a \geq 0.$$

Это условие также подтверждает, что при $a \geq 0$ неравенство $3x^2 + a \geq 0$ выполняется для всех $x$.

Ответ:

Таким образом, значение $a$ должно быть неотрицательным:

$$a \geq 0.$$

б) $y = \frac{x^3}{3} — ax^2 + 5x — 3$

Нахождение производной:

Мы имеем функцию $y = \frac{x^3}{3} — ax^2 + 5x — 3$. Чтобы найти производную, дифференцируем каждый член:

• Производная от $\frac{x^3}{3}$ по $x$ равна $\frac{1}{3} \cdot 3x^2 = x^2$.
• Производная от $-ax^2$ по $x$ равна $-2ax$.
• Производная от $5x$ по $x$ равна $5$.
• Производная от константы $-3$ равна $0$.

Таким образом, производная функции $y$ будет:

$$y’ = x^2 — 2ax + 5.$$

Условие неотрицательности производной:

Нам нужно найти такие значения параметра $a$, при которых производная $y’ = x^2 — 2ax + 5$ неотрицательна для всех $x$. Это означает, что неравенство:

$$x^2 — 2ax + 5 \geq 0$$

должно быть выполнено для всех $x$.

Дискриминант для анализа:

Чтобы понять, при каких значениях $a$ это неравенство выполняется для всех $x$, мы используем дискриминант квадратного уравнения $x^2 — 2ax + 5 = 0$. Его дискриминант:

$$D = (-2a)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 5 = 4a^2 — 20.$$

Чтобы уравнение $x^2 — 2ax + 5 = 0$ не имело действительных корней, дискриминант должен быть отрицательным:

$$D < 0 \quad \Rightarrow \quad 4a^2 — 20 < 0.$$

Решим это неравенство:

$$4a^2 < 20 \quad \Rightarrow \quad a^2 < 5.$$

Это неравенство даёт:

$$-\sqrt{5} < a < \sqrt{5}.$$

Ответ:

Таким образом, для того чтобы производная неотрицательна для всех $x$, значение $a$ должно лежать в интервале:

$$-\sqrt{5} \leq a \leq \sqrt{5}.$$

Итоговые ответы:

а) $a \geq 0$.

б) $-\sqrt{5} \leq a \leq \sqrt{5}$.