ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 44.32 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

При каких значениях параметра а функция возрастает на всей числовой прямой:

а) $y = ax — \cos x$;

б) $y = 2 \sin 2x — ax$

а) $y = ax — \cos x$;

$y’ = a(x)’ — (\cos x)’ = a — (-\sin x) = a + \sin x$;

Производная неотрицательна:

$-1 \leq \sin x \leq 1$, значит $a \geq 1$;

Ответ: $a \geq 1$.

б) $y = 2 \sin 2x — ax$;

$y’ = 2(\sin 2x)’ — a(x)’ = 2 \cdot 2 \cos 2x — a = 4 \cos 2x — a$;

Производная неотрицательна:

$-1 \leq \cos 2x \leq 1$;

$-4 \leq 4 \cos 2x \leq 4$, значит $a \leq -4$;

Ответ: $a \leq -4$.

а) $y = ax — \cos x$

Найдем производную функции $y$ по $x$, используя правила дифференцирования:

• Производная от $ax$ по $x$ — это просто $a$, так как $a$ — константа.
• Производная от $-\cos x$ по $x$ равна $\sin x$, так как производная косинуса — это синус с противоположным знаком.

Таким образом, производная функции $y$ будет:

$$y’ = \frac{d}{dx}(ax — \cos x) = a — (-\sin x) = a + \sin x.$$

Условие задачи требует, чтобы производная была неотрицательной, т.е. $y’ \geq 0$, что означает:

$$a + \sin x \geq 0.$$

Теперь рассмотрим выражение $a + \sin x$:

• Значение $\sin x$ всегда лежит в интервале $-1 \leq \sin x \leq 1$, независимо от значения $x$.
• Поэтому для того, чтобы $a + \sin x \geq 0$ при всех значениях $x$, необходимо, чтобы минимальное значение выражения $a + \sin x$ было неотрицательным.

Минимальное значение $a + \sin x$ достигается, когда $\sin x = -1$. Подставим это значение в неравенство:

$$a — 1 \geq 0.$$

Это дает:

$$a \geq 1.$$

Ответ: $a \geq 1$.

б) $y = 2 \sin 2x — ax$

Найдем производную функции $y$ по $x$, используя правила дифференцирования:

• Производная от $2 \sin 2x$ по $x$ вычисляется с помощью цепного правила. Производная от $\sin 2x$ по $x$ — это $2 \cos 2x$ (производная синуса — это косинус, а от $2x$ нужно еще умножить на 2).
• Производная от $-ax$ по $x$ — это просто $-a$, так как $a$ — константа.

Таким образом, производная функции $y$ будет:

$$y’ = \frac{d}{dx}(2 \sin 2x — ax) = 2 \cdot 2 \cos 2x — a = 4 \cos 2x — a.$$

Условие задачи требует, чтобы производная была неотрицательной, т.е. $y’ \geq 0$, что означает:

$$4 \cos 2x — a \geq 0.$$

Перепишем неравенство:

$$4 \cos 2x \geq a.$$

Теперь, учитывая, что $\cos 2x$ всегда лежит в интервале $-1 \leq \cos 2x \leq 1$, получаем, что:

• Максимальное значение $4 \cos 2x$ равно $4$, когда $\cos 2x = 1$.
• Минимальное значение $4 \cos 2x$ равно $-4$, когда $\cos 2x = -1$.

Следовательно, для того, чтобы неравенство $4 \cos 2x \geq a$ выполнялось при всех значениях $x$, необходимо, чтобы $a$ было не больше максимального значения $4 \cos 2x$, то есть $a \leq 4$.

Рассмотрим минимальное значение $4 \cos 2x$, которое равно $-4$. Для выполнения неравенства $4 \cos 2x — a \geq 0$ при минимальном значении $\cos 2x = -1$ необходимо, чтобы:

$$-4 \geq a.$$

Это дает:

$$a \leq -4.$$

Ответ: $a \leq -4$.

Ответы:

а) $a \geq 1$

б) $a \leq -4$