ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 44.33 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

При каких значениях параметра b функция убывает на всей области определения:

а) $y = 7 + bx — x^2 — x^3$;

б) $y = -2\sqrt{x+3} + bx$;

в) $y = x^3 + bx^2 + 3x + 21$;

г) $y = -2bx + \sqrt{1-x}$

а) $y = 7 + bx — x^2 — x^3$;

$y’ = (7 + bx)’ — (x^2)’ — (x^3)’ = b — 2x — 3x^2$;

Производная неположительна:

$$-3x^2 — 2x + b \leq 0;$$

$D = 2^2 + 4 \cdot 3 \cdot b = 4 + 12b$;

$4 + 12b \leq 0$;

$12b \leq -3$, отсюда $b \leq -\frac{1}{3}$;

Ответ: $b \leq -\frac{1}{3}$.

б) $y = -2\sqrt{x+3} + bx$;

$y’ = -2(\sqrt{x+3})’ + b(x)’ = -2 \cdot \frac{1}{2\sqrt{x+3}} + b = -\frac{1}{\sqrt{x+3}} + b$;

Производная неположительна:

$$-\frac{1}{\sqrt{x+3}} + b \leq 0;$$

$\sqrt{x+3} \geq 0$, значит $b \leq 0$;

Ответ: $b \leq 0$.

в) $y = x^3 + bx^2 + 3x + 21$;

$y’ = (x^3)’ + b(x^2)’ + (3x + 21)’ = 3x^2 + 2bx + 3$;

Производная неположительна:

$$3x^2 + 2bx + 3 \leq 0;$$

$3 > 0$, значит ветви направлены вверх;

Ответ: ни при каких $b$.

г) $y = -2bx + \sqrt{1-x}$;

$y’ = -2b(x)’ + (\sqrt{1-x})’ = -2b — \frac{1}{2\sqrt{1-x}}$;

Производная неположительна:

$$-2b — \frac{1}{2\sqrt{1-x}} \leq 0;$$

$\sqrt{1-x} \geq 0$, значит $b \geq 0$;

Ответ: $b \geq 0$.

а) $y = 7 + bx — x^2 — x^3$

Нахождение производной:

Для нахождения производной, будем использовать стандартные правила дифференцирования:

$$y’ = (7 + bx — x^2 — x^3)’$$

Применяем правило производной суммы:

$$y’ = (7)’ + (bx)’ — (x^2)’ — (x^3)’$$

Теперь по очереди находим производные каждой из составляющих:

• $(7)’ = 0$, так как производная константы равна 0;
• $(bx)’ = b$, так как производная от $bx$ по $x$ равна $b$;
• $(x^2)’ = 2x$, по правилу дифференцирования степени $x^n$;
• $(x^3)’ = 3x^2$, аналогично.

Составляем итоговое выражение:

$$y’ = 0 + b — 2x — 3x^2 = b — 2x — 3x^2$$

Условие неположительности производной:

Производная $y’$ должна быть неположительной, т.е. $y’ \leq 0$. Запишем неравенство:

$$b — 2x — 3x^2 \leq 0$$

Перепишем его для удобства:

$$-3x^2 — 2x + b \leq 0$$

Анализ дискриминанта:

Это квадратное неравенство относительно $x$. Для того, чтобы неравенство имело решение, рассмотрим дискриминант этого квадратного уравнения:

$$D = (-2)^2 — 4 \cdot (-3) \cdot b = 4 + 12b$$

Дискриминант должен быть неотрицательным, чтобы уравнение имело реальные корни, то есть:

$$4 + 12b \geq 0$$

Решаем это неравенство:

$$12b \geq -4 \quad \Rightarrow \quad b \geq -\frac{1}{3}$$

Таким образом, $b \geq -\frac{1}{3}$.

Ответ:

Таким образом, $b$ должно быть больше либо равно $-\frac{1}{3}$, чтобы производная была неположительной на всей области определения.

Ответ: $b \leq -\frac{1}{3}$.

б) $y = -2\sqrt{x+3} + bx$

Нахождение производной:

Используем правила дифференцирования для каждого слагаемого:

$$y’ = (-2\sqrt{x+3})’ + (bx)’$$

Применяем производную от каждого слагаемого:

• Производная от $-2\sqrt{x+3}$ по $x$ равна $-2 \cdot \frac{1}{2\sqrt{x+3}} = -\frac{1}{\sqrt{x+3}}$, так как производная от $\sqrt{x+3}$ равна $\frac{1}{2\sqrt{x+3}}$;
• Производная от $bx$ по $x$ равна $b$.

Таким образом:

$$y’ = -\frac{1}{\sqrt{x+3}} + b$$

Условие неположительности производной:

Необходимо, чтобы производная $y’$ была неположительной:

$$-\frac{1}{\sqrt{x+3}} + b \leq 0$$

Переносим $b$ на правую часть:

$$b \leq \frac{1}{\sqrt{x+3}}$$

Поскольку $\sqrt{x+3} \geq 0$, то $\frac{1}{\sqrt{x+3}} \geq 0$, то есть:

$$b \leq 0$$

Ответ:

Таким образом, для того чтобы производная была неположительной, необходимо, чтобы $b \leq 0$.

Ответ: $b \leq 0$.

в) $y = x^3 + bx^2 + 3x + 21$

Нахождение производной:

Применяем стандартные правила дифференцирования для каждого слагаемого:

$$y’ = (x^3)’ + b(x^2)’ + (3x)’ + (21)’$$

Получаем:

$$y’ = 3x^2 + 2bx + 3$$

Условие неположительности производной:

Производная должна быть неположительной:

$$3x^2 + 2bx + 3 \leq 0$$

Рассмотрим это квадратное неравенство. Так как $3 > 0$, ветви параболы направлены вверх, и у этой функции нет отрицательных значений для любых $x$, следовательно, неравенство не может быть выполнено при любых значениях $b$.

Ответ:

Ответ: ни при каких $b$.

г) $y = -2bx + \sqrt{1-x}$

Нахождение производной:

Применяем правила дифференцирования для каждого слагаемого:

$$y’ = (-2b(x))’ + (\sqrt{1-x})’$$

• Производная от $-2bx$ по $x$ равна $-2b$;
• Производная от $\sqrt{1-x}$ по $x$ равна $-\frac{1}{2\sqrt{1-x}}$ по правилу дифференцирования корня.

Таким образом:

$$y’ = -2b — \frac{1}{2\sqrt{1-x}}$$

Условие неположительности производной:

Производная должна быть неположительной:

$$-2b — \frac{1}{2\sqrt{1-x}} \leq 0$$

Переносим $-2b$ на правую часть:

$$-\frac{1}{2\sqrt{1-x}} \leq 2b$$

Так как $\sqrt{1-x} \geq 0$, то $\frac{1}{2\sqrt{1-x}} \geq 0$, следовательно, для выполнения этого неравенства нужно, чтобы $b \geq 0$.

Ответ:

Ответ: $b \geq 0$.

Итоговые ответы:

а) $b \leq -\frac{1}{3}$

б) $b \leq 0$

в) ни при каких $b$

г) $b \geq 0$