ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 44.34 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

При каких значениях параметра $a$ функция $y = x^3 — 3x$:

а) убывает на отрезке $[a + 1; a + 3]$;

б) возрастает на отрезке $\left[a — \frac{1}{2}; 2a + 2\right]$;

в) убывает на отрезке $\left[a — 3; \frac{1}{6}a + \frac{2}{3}\right]$;

г) возрастает на отрезке $[a — 2,5; a — 0,5]$?

Дана функция:
$y = x^3 — 3x;$
$y’ = (x^3)’ — (3x)’ = 3x^2 — 3;$

Промежутки монотонности:
$3x^2 — 3 \geq 0;$
$x^2 — 1 \geq 0;$
$x^2 \geq 1, \text{ отсюда } x \leq -1 \text{ или } x \geq 1;$

Возрастает на $(-\infty; -1] \cup [1; +\infty)$ и убывает на $[-1; 1]$.

а) Убывает на отрезке $[a+1; a+3]$:

$-1 \leq a+1 < 1 \quad \Rightarrow \quad -2 \leq a < 0;$
$-1 < a+3 \leq 1 \quad \Rightarrow \quad -4 < a \leq -2;$
$a+1 < a+3 \quad \Rightarrow \quad 0 < 2;$

Ответ: $a = -2$.

б) Возрастает на отрезке $\left[a-\frac{1}{2}; 2a+2\right]$:

$a — \frac{1}{2} \geq 1, \text{ отсюда } a \geq 1.5;$
$2a + 2 \leq -1 \quad \Rightarrow \quad 2a \leq -3, \text{ отсюда } a \leq -1.5;$
$a — \frac{1}{2} < 2a + 2 \quad \Rightarrow \quad -a < 2.5, \text{ отсюда } a > -2.5;$

Ответ: $-2.5 < a \leq -1.5; \, a > 1.5$.

в) Убывает на отрезке $\left[a-3; \frac{1}{6}a + \frac{2}{3}\right]$:

$-1 \leq a-3 < 1 \quad \Rightarrow \quad 2 \leq a < 4;$
$-1 < \frac{1}{6}a + \frac{2}{3} \leq 1 \quad \Rightarrow \quad -\frac{5}{3} < \frac{1}{6}a \leq \frac{1}{3} \quad \Rightarrow \quad -10 < a \leq 2;$
$a-3 < \frac{1}{6}a + \frac{2}{3} \quad \Rightarrow \quad \frac{5}{6}a < \frac{11}{3}, \text{ отсюда } a < \frac{22}{5};$

Ответ: $a = 2$.

г) Возрастает на отрезке $[a-2.5; a-0.5]$:

$a — 2.5 \geq 1, \text{ отсюда } a \geq 3.5;$
$a — 0.5 \leq -1, \text{ отсюда } a \leq -0.5;$
$a — 2.5 < a — 0.5 \quad \Rightarrow \quad 0 < 2;$

Ответ: $a \leq -0.5; \, a \geq 3.5$.

Дана функция:

$$y = x^3 — 3x$$

Нам необходимо найти интервалы монотонности функции, для этого сначала найдем её производную $y’$:

$$y’ = (x^3)’ — (3x)’ = 3x^2 — 3$$

Итак, производная функции:

$$y’ = 3x^2 — 3$$

Промежутки монотонности функции определяются знаком её производной. Если производная положительна ($y’ > 0$), то функция возрастает, если производная отрицательна ($y’ < 0$), то функция убывает.

Найдем точки, в которых производная равна нулю:

$$3x^2 — 3 = 0$$

Решим это уравнение:

$$3(x^2 — 1) = 0$$ $$x^2 — 1 = 0$$ $$x^2 = 1$$ $$x = \pm 1$$

Таким образом, производная равна нулю в точках $x = -1$ и $x = 1$. Эти точки являются критическими и могут разделить ось $x$ на интервалы, на которых функция может быть возрастающей или убывающей.

Теперь определим знак производной на каждом из интервалов, полученных после нахождения критических точек: $(-\infty, -1)$, $(-1, 1)$ и $(1, +\infty)$.

Для этого подставим значения из этих интервалов в производную $y’ = 3x^2 — 3$.

Интервал $(-\infty, -1)$:

Возьмем $x = -2$:

$$y’ = 3(-2)^2 — 3 = 3(4) — 3 = 12 — 3 = 9$$

На этом интервале $y’ > 0$, следовательно, функция возрастает.

Интервал $(-1, 1)$:

Возьмем $x = 0$:

$$y’ = 3(0)^2 — 3 = 0 — 3 = -3$$

На этом интервале $y’ < 0$, следовательно, функция убывает.

Интервал $(1, +\infty)$:

Возьмем $x = 2$:

$$y’ = 3(2)^2 — 3 = 3(4) — 3 = 12 — 3 = 9$$

На этом интервале $y’ > 0$, следовательно, функция возрастает.

Теперь мы можем записать, что:

Функция возрастает на $(-\infty, -1] \cup [1, +\infty)$

Функция убывает на $[-1, 1]$

а) Убывает на отрезке $[a + 1; a + 3]$

Нужно найти такие значения $a$, при которых функция убывает на отрезке $[a+1, a+3]$.

На отрезке убывания производная $y’ = 3x^2 — 3$ должна быть меньше нуля:

$$y’ = 3x^2 — 3 < 0$$

Это неравенство аналогично:

$$x^2 — 1 < 0$$ $$x^2 < 1$$

Решение этого неравенства: $-1 < x < 1$.

Отрезок $[a+1, a+3]$ должен попасть в интервал $(-1, 1)$, то есть $a+1$ должно быть больше или равно $-1$, а $a+3$ должно быть меньше или равно $1$.

Рассмотрим каждое неравенство:

• $a+1 \geq -1$:

  $$a \geq -2$$

• $a+3 \leq 1$:

  $$a \leq -2$$

Таким образом, $a = -2$.

Ответ: $a = -2$.

б) Возрастает на отрезке $\left[a — \frac{1}{2}; 2a + 2\right]$

Нужно найти такие значения $a$, при которых функция возрастает на отрезке $\left[a — \frac{1}{2}, 2a + 2\right]$.

Для того, чтобы функция возрастала, производная должна быть больше нуля:

$$y’ = 3x^2 — 3 > 0$$

Это неравенство аналогично:

$$x^2 — 1 > 0$$ $$x^2 > 1$$

Решение этого неравенства: $x < -1$ или $x > 1$.

Рассмотрим отрезок $\left[a — \frac{1}{2}, 2a + 2\right]$. Этот отрезок должен быть целиком в интервале $(-\infty, -1) \cup (1, +\infty)$.

• Для того, чтобы $a — \frac{1}{2} \geq 1$, получаем:

  $$a \geq 1.5$$

• Для того, чтобы $2a + 2 \leq -1$, получаем:

  $$2a \leq -3 \quad \Rightarrow \quad a \leq -1.5$$

Таким образом, получаем два возможных интервала для $a$:

$$a \leq -1.5 \quad \text{или} \quad a \geq 1.5$$

Ответ: $-2.5 < a \leq -1.5; \, a > 1.5$.

в) Убывает на отрезке $\left[a — 3; \frac{1}{6}a + \frac{2}{3}\right]$

Нужно найти такие значения $a$, при которых функция убывает на отрезке $\left[a — 3, \frac{1}{6}a + \frac{2}{3}\right]$.

Для того, чтобы функция убывала, производная должна быть меньше нуля:

$$y’ = 3x^2 — 3 < 0$$

Это неравенство аналогично:

$$x^2 — 1 < 0$$ $$x^2 < 1$$

Решение этого неравенства: $-1 < x < 1$.

Рассмотрим отрезок $\left[a — 3, \frac{1}{6}a + \frac{2}{3}\right]$. Этот отрезок должен попасть в интервал $(-1, 1)$.

• Для того, чтобы $a — 3 \geq -1$, получаем:

  $$a \geq 2$$

• Для того, чтобы $\frac{1}{6}a + \frac{2}{3} \leq 1$, получаем:

  $$\frac{1}{6}a + \frac{2}{3} \leq 1 \quad \Rightarrow \quad \frac{1}{6}a \leq \frac{1}{3} \quad \Rightarrow \quad a \leq 2$$

Таким образом, $a = 2$.

Ответ: $a = 2$.

г) Возрастает на отрезке $[a — 2.5; a — 0.5]$

Нужно найти такие значения $a$, при которых функция возрастает на отрезке $[a — 2.5, a — 0.5]$.

Для того, чтобы функция возрастала, производная должна быть больше нуля:

$$y’ = 3x^2 — 3 > 0$$

Это неравенство аналогично:

$$x^2 — 1 > 0$$ $$x^2 > 1$$

Решение этого неравенства: $x < -1$ или $x > 1$.

Рассмотрим отрезок $[a — 2.5, a — 0.5]$. Этот отрезок должен быть целиком в интервале $(-\infty, -1) \cup (1, +\infty)$.

• Для того, чтобы $a — 2.5 \geq 1$, получаем:

  $$a \geq 3.5$$

• Для того, чтобы $a — 0.5 \leq -1$, получаем:

  $$a \leq -0.5$$

Таким образом, $a \leq -0.5$ или $a \geq 3.5$.

Ответ: $a \leq -0.5$ или $a \geq 3.5$.