ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 44.35 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

а) При каких значениях параметра $a$ функция $y = 2x^3 — 3x^2 + 7$ возрастает на интервале $(a — 1; a + 1)$?

б) При каких значениях параметра $a$ функция $y = -x^3 + 3x + 5$ убывает на интервале $\left(a; a + \frac{1}{2}\right)$?

а) $y = 2x^3 — 3x^2 + 7$;

$y’ = 2(x^3)’ — 3(x^2)’ + (7)’ = 2 \cdot 3x^2 — 3 \cdot 2x + 0 = 6x^2 — 6x$;

Промежутки монотонности:

$$6x^2 — 6x \geq 0;$$ $$x^2 — x \geq 0;$$ $$x(x — 1) \geq 0;$$ $$x \leq 0 \text{ или } x \geq 1;$$

Возрастает на $(-∞; 0] \cup [1; +∞)$ и убывает на $[0; 1]$;

Возрастает на интервале $(a — 1; a + 1)$;

$$a — 1 \geq 1, \text{ отсюда } a \geq 2;$$ $$a + 1 \leq 0, \text{ отсюда } a \leq -1;$$ $$a — 1 < a + 1 \quad \Rightarrow \quad 0 < 2;$$

Ответ: $a \leq -1; \, a \geq 2$.

б) $y = -x^3 + 3x + 5$;

$y’ = -(x^3)’ + (3x + 5)’ = -3x^2 + 3$;

Промежутки монотонности:

$$-3x^2 + 3 \geq 0;$$ $$x^2 + 1 \leq 0;$$ $$x^2 \leq 1, \text{ отсюда } -1 \leq x \leq 1;$$

Возрастает на $[-1; 1]$ и убывает на $(-∞; -1] \cup [1; +∞)$;

Возрастает на интервале $\left(a; a + \frac{1}{2}\right)$;

$$a \geq 1;$$ $$a + \frac{1}{2} \leq -1, \text{ отсюда } a \leq -1,5;$$ $$a < a + \frac{1}{2} \quad \Rightarrow \quad 0 < \frac{1}{2};$$

Ответ: $a \leq -1,5; \, a \geq 1$.

Задание а)

Функция: $y = 2x^3 — 3x^2 + 7$

Нахождение первой производной:

Чтобы понять, на каких интервалах функция возрастает или убывает, начнем с нахождения производной функции $y$.

$$y = 2x^3 — 3x^2 + 7$$

Вычислим первую производную $y’$. Используем правило дифференцирования:

• Производная от $2x^3$ равна $6x^2$,
• Производная от $-3x^2$ равна $-6x$,
• Производная от константы 7 равна 0.

Таким образом, получаем:

$$y’ = 6x^2 — 6x$$

Исследование знака первой производной:

Для того чтобы определить, на каких интервалах функция возрастает или убывает, нужно найти промежутки монотонности. Для этого исследуем знак производной.

Решим неравенство:

$$y’ = 6x^2 — 6x \geq 0$$ $$6x(x — 1) \geq 0$$

Это произведение будет больше или равно нулю, когда хотя бы один из множителей положителен или оба равны нулю.

Рассмотрим три критических точки, которые появляются в результате решения уравнения:

$$6x(x — 1) = 0 \quad \Rightarrow \quad x = 0 \text{ или } x = 1$$

Теперь определим знаки выражения на интервалах, образованных этими точками: $(-\infty; 0)$, $(0; 1)$, $(1; +\infty)$.

• На интервале $(-\infty; 0)$, если подставить значение $x = -1$ (например), то $y’ = 6(-1)(-1 — 1) = 12$, т.е. $y’ > 0$.
• На интервале $(0; 1)$, если подставить значение $x = 0.5$, то $y’ = 6(0.5)(0.5 — 1) = -1.5$, т.е. $y’ < 0$.
• На интервале $(1; +\infty)$, если подставить значение $x = 2$, то $y’ = 6(2)(2 — 1) = 12$, т.е. $y’ > 0$.

Таким образом, функция возрастает на интервалах $(-\infty; 0] \cup [1; +\infty)$ и убывает на интервале $[0; 1]$.

Поиск значения параметра $a$:

Нам нужно найти, при каких значениях параметра $a$ функция возрастает на интервале $(a — 1; a + 1)$.

Промежуток монотонности функции в целом: $(-\infty; 0] \cup [1; +\infty)$. Для того чтобы интервал $(a — 1; a + 1)$ попал в возрастающую область, нам нужно, чтобы весь интервал лежал в пределах этих двух частей.

• Если $a — 1 \geq 1$, то $a \geq 2$.
• Если $a + 1 \leq 0$, то $a \leq -1$.

Теперь проверим, что $a — 1 < a + 1$ всегда выполняется, т.к. $a — 1$ всегда меньше, чем $a + 1$, следовательно не возникает противоречий.

Ответ: $a \leq -1$ или $a \geq 2$.

Задание б)

Функция: $y = -x^3 + 3x + 5$

Нахождение первой производной:

Для начала найдем первую производную функции:

$$y = -x^3 + 3x + 5$$

• Производная от $-x^3$ равна $-3x^2$,
• Производная от $3x$ равна $3$,
• Производная от константы 5 равна 0.

Таким образом, получаем:

$$y’ = -3x^2 + 3$$

Исследование знака первой производной:

Чтобы определить промежутки монотонности, решим неравенство:

$$y’ = -3x^2 + 3 \geq 0$$ $$-3(x^2 — 1) \geq 0$$ $$x^2 — 1 \leq 0$$ $$(x — 1)(x + 1) \leq 0$$

Это неравенство выполняется на промежутке $[-1; 1]$.

Таким образом, функция возрастает на интервале $[-1; 1]$, а на интервалах $(-\infty; -1]$ и $[1; +\infty)$ убывает.

Поиск значения параметра $a$:

Нам нужно найти, при каких значениях параметра $a$ функция убывает на интервале $\left(a; a + \frac{1}{2}\right)$.

Для того чтобы этот интервал лежал в области убывания функции, нужно, чтобы он попадал в интервал $(-\infty; -1] \cup [1; +\infty)$.

• Если $a \geq 1$, то интервал $\left(a; a + \frac{1}{2}\right)$ полностью находится в убывающей области функции, потому что $a + \frac{1}{2} \geq 1.5$, что больше 1.
• Если $a + \frac{1}{2} \leq -1$, то $a \leq -1.5$, и интервал $\left(a; a + \frac{1}{2}\right)$ будет полностью лежать в области убывания.

Ответ: $a \leq -1.5$ или $a \geq 1$.

Итак, окончательные ответы:

а) $a \leq -1$ или $a \geq 2$,

б) $a \leq -1.5$ или $a \geq 1$.