ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 44.36 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

По графику функции $y = f(x)$, $x \in \mathbb{R}$, изображённому на заданном рисунке, определите точки, в которых её производная обращается в 0:

а) рис. 117;
б) рис. 118;
в) рис. 119;
г) рис. 120.

Производная функции равна нулю в тех точках, в которых касательная к графику функции параллельна оси $x$, то есть в вершинах графика;

В точках излома графика функции производной не существует;

а) Рисунок 117:

Производная равна нулю в точках $b$ и $d$;

б) Рисунок 118:

Производная равна нулю в точке $c$;

в) Рисунок 119:

Производная равна нулю в точках $a$ и $0$;

г) Рисунок 120:

Производная не равна нулю ни в каких точках.

1. Что такое производная функции?

Производная функции в точке $x_0$ — это предел отношения приращения функции к приращению аргумента при стремлении приращения аргумента к нулю. Интуитивно производная функции в точке показывает, как быстро изменяется функция в окрестности этой точки.

• Если производная функции в точке равна нулю, это означает, что функция в этой точке имеет горизонтальную касательную. То есть наклон касательной к графику функции в этой точке равен нулю, и функция либо имеет экстремум (максимум или минимум), либо является точкой перегиба.
• Если график функции в точке имеет «плавную» касательную (т.е. касательная не имеет углов или изломов), то в этой точке производная существует. В противном случае, если график функции имеет угол или «излом» в точке, то производная в этой точке не существует.

2. Как определить точки, в которых производная равна нулю?

Точки, в которых касательная к графику функции параллельна оси $x$, называются точками, где производная равна нулю. Эти точки могут быть как вершинами графика, так и точками перегиба, но основное условие — это горизонтальная касательная.

Для каждой из указанных картинок, вы должны определить точки, где касательная к графику функции будет горизонтальной (параллельной оси $x$).

Подробное решение по каждой из картинок:

а) Рисунок 117

Описание графика: График функции на рисунке имеет две точки, где он достигает локальных экстремумов, то есть где наклон графика изменяется с положительного на отрицательное или наоборот.

Решение:

1. Мы видим, что в точках $b$ и $d$ график функции имеет горизонтальные касательные.
2. Это означает, что в этих точках производная функции равна нулю.
3. Следовательно, в точках $b$ и $d$ производная функции равна нулю.

Ответ: Производная равна нулю в точках $b$ и $d$.

б) Рисунок 118

Описание графика: График функции на рисунке представляет собой плавную кривую с одним явным экстремумом.

Решение:

1. На графике видим, что только в точке $c$ касательная к графику функции горизонтальна.
2. Это означает, что в точке $c$ наклон графика функции равен нулю.
3. Следовательно, в точке $c$ производная функции равна нулю.

Ответ: Производная равна нулю в точке $c$.

в) Рисунок 119

Описание графика: График функции выглядит так, что в нем есть две точки, где функция изменяет свой наклон, и возможно, экстремумы.

Решение:

1. На графике можно выделить две точки, где касательная будет горизонтальной — это точка $a$ и точка $0$.
2. В точке $a$ и в точке $0$ график функции имеет горизонтальную касательную, следовательно, в этих точках производная равна нулю.

Ответ: Производная равна нулю в точках $a$ и $0$.

г) Рисунок 120

Описание графика: На графике представлена кривая, у которой нет явных экстремумов, и наклон графика меняется плавно и монотонно.

Решение:

1. График функции не имеет точек с горизонтальной касательной. Он либо возрастает, либо убывает, и касательная всегда имеет ненулевой наклон.
2. Таким образом, нет точек, где производная равна нулю.

Ответ: Производная не равна нулю ни в каких точках.