ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 44.37 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

По графику функции $y = f(x)$, $x \in \mathbb{R}$, изображённому на заданном рисунке, определите точки, в которых производная не существует:

а) рис. 117;
б) рис. 118;
в) рис. 119;
г) рис. 120.

Производной не существует в точках излома графика функции:

а) Рисунок 117:
Производной не существует в точке $c$;

б) Рисунок 118:
Производной не существует в точках $a$ и $b$;

в) Рисунок 119:
Производной не существует в точках $b$ и $c$;

г) Рисунок 120:
Производной не существует в точках $a, b, c, d$ и $e$.

Для того чтобы определить, в каких точках на графиках функции производная не существует, необходимо понимать, что такие точки могут быть связаны с несколькими характеристиками графика:

1. Точки излома (скачки): В этих точках график функции изменяет своё направление резко, без плавного перехода. Это создаёт невозможность определения производной в данной точке, поскольку производная связана с углом наклона касательной к графику функции в данной точке.
2. Точки разрыва: В этих точках функция либо не определена, либо имеет разрыв. Производная не существует в этих точках, так как функция не является непрерывной.
3. Точки вершины (кривизна): В этих точках график функции имеет горизонтальный касательный, но наклон с одной стороны резко отличается от наклона с другой стороны, что также приводит к тому, что производная не существует.

а) Рисунок 117:

• Описание графика: На рисунке изображена функция, у которой в точке $c$ есть резкий поворот графика (излом). Функция до точки $c$ идёт с одним наклоном, а после точки $c$ с другим, и изменение наклона происходит мгновенно.
• Анализ: В точке $c$ график функции резко меняет своё направление (излом), что приводит к невозможности определения угла наклона касательной в этой точке. Это говорит о том, что производная функции в точке $c$ не существует.
• Ответ: Производная не существует в точке $c$.

б) Рисунок 118:

• Описание графика: На графике видно, что в точке $a$ и в точке $b$ функция имеет разрывы или резкие изменения наклона. В точке $a$ и $b$ график функции изменяет направление, что является характеристикой излома.
• Анализ:
  • В точке $a$ функция либо имеет разрыв, либо график резко меняет направление.
  • В точке $b$ также наблюдается резкий поворот, аналогичный точке $a$. Это также излом, что исключает существование производной.
• Ответ: Производная не существует в точках $a$ и $b$.

в) Рисунок 119:

• Описание графика: На графике в точках $b$ и $c$ функция испытывает резкие изменения наклона, что указывает на изломы.
• Анализ:
  • В точке $b$ график резко меняет наклон, переходя с одного угла наклона к другому, создавая излом.
  • В точке $c$ аналогичная ситуация: функция не имеет плавного перехода, а имеет резкий излом.
• Ответ: Производная не существует в точках $b$ и $c$.

г) Рисунок 120:

• Описание графика: График функции в точках $a$, $b$, $c$, $d$ и $e$ демонстрирует явные изломы, в которых график резко меняет направление.
• Анализ:
  • В точках $a$, $b$, $c$, $d$ и $e$ функция имеет резкие изменения наклона, что делает невозможным существование касательных в этих точках.
  • В этих точках имеются изломы, и в каждой из этих точек наклон графика резко меняется.
• Ответ: Производная не существует в точках $a$, $b$, $c$, $d$ и $e$.

Общие выводы:

• Производная функции не существует в точках, где график имеет резкие изменения направления, называемые изломами.
• Эти точки характеризуются мгновенными изменениями наклона графика, что делает невозможным определение производной.
• Важно, что в точках разрыва или резких поворотов графика производная не существует, так как не существует касательных, которые можно было бы использовать для её вычисления.