ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 44.38 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

При каких значениях параметра а заданная функция имеет одну стационарную точку:

а) $y = x^3 — 3ax^2 + 27x — 5$;

б) $y = x^3 — 3ax^2 + 75x — 10$

Экстремум функции находится в тех точках, в которых ее производная равна нулю или не существует;

а) $y = x^3 — 3ax^2 + 27x — 5$;

$y’ = (x^3)’ — 3a(x^2)’ + (27x — 5)’$;

$y’ = 3x^2 — 3a \cdot 2x + 27 = 3x^2 — 6ax + 27$;

Функция имеет один экстремум:

$3x^2 — 6ax + 27 = 0$;

$D = (6a)^2 — 4 \cdot 3 \cdot 27 = 36a^2 — 324$;

$36a^2 — 324 = 0$;

$a^2 — 9 = 0$;

$a^2 = 9$, отсюда $a = \pm 3$;

Ответ: $a = \pm 3$.

б) $y = x^3 — 3ax^2 + 75x — 10$;

$y’ = (x^3)’ — 3a(x^2)’ + (75 — 10)’$;

$y’ = 3x^2 — 3a \cdot 2x + 75 = 3x^2 — 6ax + 75$;

Функция имеет один экстремум:

$3x^2 — 6ax + 75 = 0$;

$D = (6a)^2 — 4 \cdot 3 \cdot 75 = 36a^2 — 900$;

$36a^2 — 900 = 0$;

$a^2 — 25 = 0$;

$a^2 = 25$, отсюда $a = \pm 5$;

Ответ: $a = \pm 5$.

а) Экстремум функции $y = x^3 — 3ax^2 + 27x — 5$:

Шаг 1. Найдём производную функции

Функция $y = x^3 — 3ax^2 + 27x — 5$ состоит из нескольких членов. Чтобы найти её производную, применяем стандартные правила дифференцирования для каждого члена:

$$y’ = (x^3)’ — 3a(x^2)’ + (27x)’ — (5)’$$

• Производная $x^3$ по $x$ равна $3x^2$,
• Производная $-3ax^2$ по $x$ равна $-3a \cdot 2x = -6ax$,
• Производная $27x$ по $x$ равна 27,
• Производная константы $-5$ равна 0.

Таким образом, производная функции:

$$y’ = 3x^2 — 6ax + 27$$

Шаг 2. Находим экстремумы функции

Для поиска экстремумов приравниваем производную к нулю:

$$3x^2 — 6ax + 27 = 0$$

Это квадратное уравнение относительно $x$. Для его решения используем дискриминант.

Шаг 3. Вычисляем дискриминант

Квадратное уравнение имеет вид $Ax^2 + Bx + C = 0$, где:

• $A = 3$,
• $B = -6a$,
• $C = 27$.

Дискриминант $D$ для квадратного уравнения $Ax^2 + Bx + C = 0$ вычисляется по формуле:

$$D = B^2 — 4AC$$

Подставляем значения $A$, $B$ и $C$:

$$D = (-6a)^2 — 4 \cdot 3 \cdot 27 = 36a^2 — 324$$

Шаг 4. Находим значения параметра $a$

Для того чтобы уравнение имело действительные корни, дискриминант должен быть неотрицательным. Приводим дискриминант к нулю, чтобы найти возможные значения $a$:

$$36a^2 — 324 = 0$$

Решаем это уравнение:

$$36a^2 = 324$$ $$a^2 = \frac{324}{36} = 9$$ $$a = \pm 3$$

Ответ: $a = \pm 3$

Таким образом, экстремумы функции $y = x^3 — 3ax^2 + 27x — 5$ существуют при $a = 3$ и $a = -3$.

б) Экстремум функции $y = x^3 — 3ax^2 + 75x — 10$:

Шаг 1. Найдём производную функции

Теперь рассмотрим функцию $y = x^3 — 3ax^2 + 75x — 10$. Снова применяем правила дифференцирования для каждого члена:

$$y’ = (x^3)’ — 3a(x^2)’ + (75x)’ — (10)’$$

• Производная $x^3$ по $x$ равна $3x^2$,
• Производная $-3ax^2$ по $x$ равна $-6ax$,
• Производная $75x$ по $x$ равна 75,
• Производная константы $-10$ равна 0.

Таким образом, производная функции:

$$y’ = 3x^2 — 6ax + 75$$

Шаг 2. Находим экстремумы функции

Приравниваем производную к нулю:

$$3x^2 — 6ax + 75 = 0$$

Это также квадратное уравнение относительно $x$. Для его решения вычисляем дискриминант.

Шаг 3. Вычисляем дискриминант

Квадратное уравнение имеет вид $Ax^2 + Bx + C = 0$, где:

• $A = 3$,
• $B = -6a$,
• $C = 75$.

Дискриминант $D$ для этого уравнения:

$$D = (-6a)^2 — 4 \cdot 3 \cdot 75 = 36a^2 — 900$$

Шаг 4. Находим значения параметра $a$

Приводим дискриминант к нулю:

$$36a^2 — 900 = 0$$

Решаем это уравнение:

$$36a^2 = 900$$ $$a^2 = \frac{900}{36} = 25$$ $$a = \pm 5$$

Ответ: $a = \pm 5$

Таким образом, экстремумы функции $y = x^3 — 3ax^2 + 75x — 10$ существуют при $a = 5$ и $a = -5$.