ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 44.4 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Определите, для какой из функций $y = f(x)$, $y = g(x)$, $y = h(x)$ отрезок $[-1; 1]$ является промежутком возрастания, если на рис. 103, 104, 105 изображены графики производных этих функций.

1. Рисунок 103.
   Производная функции отрицательна на промежутке $[-1; 1]$, значит он является промежутком убывания функции;
2. Рисунок 104.
   Производная функции положительна на промежутке $[-1; 1]$, значит он является промежутком возрастания функции;
3. Рисунок 105.
   Производная функции не имеет постоянного знака на участке $[-1; 1]$, значит он не является промежутком монотонности функции;

Ответ: $y = g(x)$.

Нам даны графики производных трёх функций:

• $y = f(x)$ — график производной на рисунке 103,
• $y = g(x)$ — график производной на рисунке 104,
• $y = h(x)$ — график производной на рисунке 105.

Нужно определить, для какой из этих функций отрезок $[-1; 1]$ является промежутком возрастания функции.

Что значит «функция возрастает» на отрезке?

Функция возрастает на отрезке, если вся её производная на этом отрезке положительна.
То есть:

Если $f'(x) > 0$ для всех $x \in [-1;1]$, то функция $f(x)$ возрастает на $[-1;1]$.

Аналогично:

• Если $f'(x) < 0$ — функция убывает;
• Если знак производной меняется — функция не монотонна на этом отрезке.

Анализ по рисункам

1) Рисунок 103

Это график производной функции $f(x)$.

• На оси $x$ нас интересует поведение графика на отрезке $[-1; 1]$.
• График производной расположен ниже оси $x$ на всём этом отрезке.

Следовательно:

• $f'(x) < 0$ на $[-1; 1]$
• Значит, функция убывает на этом отрезке.

Вывод: отрезок $[-1;1]$ — промежуток убывания функции $f(x)$.

2) Рисунок 104

Это график производной функции $g(x)$.

• Смотрим график на отрезке $[-1; 1]$.
• Вся кривая лежит выше оси $x$ на всём этом отрезке.

Следовательно:

• $g'(x) > 0$ для всех $x \in [-1;1]$
• Значит, функция $g(x)$ возрастает на этом отрезке.

Вывод: отрезок $[-1;1]$ — промежуток возрастания функции $g(x)$.

3) Рисунок 105

Это график производной функции $h(x)$.

• Рассматриваем поведение на отрезке $[-1; 1]$.
• График пересекает ось $x$ внутри этого отрезка.

Следовательно:

• Производная $h'(x)$ меняет знак:
  • где-то положительна,
  • где-то отрицательна.
• Значит, функция $h(x)$ на отрезке $[-1;1]$ то возрастает, то убывает.

Вывод: отрезок $[-1;1]$ — не является промежутком монотонности функции $h(x)$.

Итоговый ответ:

Из трёх графиков только у функции $g(x)$ (рисунок 104) производная положительна на всём отрезке $[-1;1]$.
Следовательно, только функция $g(x)$ возрастает на этом отрезке.

Ответ: $\boxed{y = g(x)}$.