ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 44.41 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Используя данные о производной функции $y=f^{\mathrm{\prime }}(x)$, приведённые в таблице, можно определить следующие промежутки возрастания и убывания функции, а также точки максимума и минимума:

а) Промежутки возрастания функции $y=f(x)$

б) Промежутки убывания функции $y=f(x)$$$

в) Точки максимума функции $y=f(x)$

$$г) Точки минимума функции $y=f(x)$

а) Промежутки возрастания функции (производная неотрицательна):
$x\in (-\mathrm{\infty };-5]\cup [-2;+\mathrm{\infty });$

б) Промежуток убывания функции (производная неположительна):
$x\in [-5;-2];$

в) Точка максимума функции: $x=-5;$

г) Точка минимума функции: $x=-2.$

В таблице приведены значения производной функции $y=f^{\mathrm{\prime }}(x)$:

• $y=f^{\mathrm{\prime }}(x)>0$ на промежутке $(-\mathrm{\infty };-5)$, что говорит о возрастании функции на этом интервале.
• $y=f^{\mathrm{\prime }}(x)=0$ в точках $x=-5$, $x=-2$, и $x=8$, где функция может менять характер (переходить от возрастания к убыванию или наоборот).
• $y=f^{\mathrm{\prime }}(x)<0$ на промежутке $(-5;-2)$, что говорит о убывании функции на этом интервале.
• $y=f^{\mathrm{\prime }}(x)>0$ на промежутке $(-2;8)$, что говорит о возрастании функции на этом интервале.
• $y=f^{\mathrm{\prime }}(x)=0$ в точке $x=8$, что снова может быть точкой экстремума.
• $y=f^{\mathrm{\prime }}(x)>0$ на промежутке $(8;+\mathrm{\infty })$, что говорит о возрастании функции на этом интервале.

а) Промежутки возрастания функции:

Функция $y=f(x)$ возрастает на тех промежутках, где производная $f^{\mathrm{\prime }}(x)>0$, то есть на промежутках, где функция имеет положительное значение производной.

• На интервале $(-\mathrm{\infty };-5)$ производная положительна ($f^{\mathrm{\prime }}(x)>0$), следовательно, функция возрастает.
• На интервале $(-2;8)$ производная также положительна ($f^{\mathrm{\prime }}(x)>0$), значит, функция снова возрастает.
• На интервале $(8;+\mathrm{\infty })$ производная положительна ($f^{\mathrm{\prime }}(x)>0$), следовательно, функция возрастает и на этом интервале.

Таким образом, функция $y=f(x)$ возрастает на промежутках:

$$x\in (-\mathrm{\infty };-5]\cup [-2;+\mathrm{\infty })$$

б) Промежуток убывания функции:

Функция $y=f(x)$ убывает на тех промежутках, где производная $f^{\mathrm{\prime }}(x)<0$, то есть на промежутках, где производная отрицательна.

• На промежутке $(-5;-2)$ производная отрицательна ($f^{\mathrm{\prime }}(x)<0$), следовательно, функция убывает на этом интервале.

Таким образом, функция $y=f(x)$ убывает на промежутке:

$$x\in [-5;-2]$$

в) Точка максимума функции:

Точка максимума функции $y=f(x)$ — это точка, в которой производная меняет знак с положительного на отрицательный. В этом случае, функция переходит от возрастания к убыванию.

• Рассмотрим точку $x=-5$. На интервале $(-\mathrm{\infty };-5)$ производная положительна ($f^{\mathrm{\prime }}(x)>0$), а на интервале $(-5;-2)$ производная отрицательна ($f^{\mathrm{\prime }}(x)<0$). Это означает, что функция $y=f(x)$ возрастала до точки $x=-5$, а затем начала убывать. Следовательно, в точке $x=-5$ находится точка максимума.

Таким образом, точка максимума функции:

$$x=-5$$

г) Точка минимума функции:

Точка минимума функции $y=f(x)$ — это точка, в которой производная меняет знак с отрицательного на положительный. В этом случае, функция переходит от убывания к возрастанию.

• Рассмотрим точку $x=-2$. На интервале $(-5;-2)$ производная отрицательна ($f^{\mathrm{\prime }}(x)<0$), а на интервале $(-2;8)$ производная положительна ($f^{\mathrm{\prime }}(x)>0$). Это означает, что функция $y=f(x)$ убывала до точки $x=-2$, а затем начала возрастать. Следовательно, в точке $x=-2$ находится точка минимума.

Таким образом, точка минимума функции:

$$x=-2$$

Ответ:

а) Промежутки возрастания функции:

$$x\in (-\mathrm{\infty };-5]\cup [-2;+\mathrm{\infty })$$

б) Промежуток убывания функции:

$$x\in [-5;-2]$$

в) Точка максимума функции:

$$x=-5$$

г) Точка минимума функции:

$$x=-2$$