ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 44.42 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

По графику $y = f'(x)$, изображённому на заданном рисунке, определите, имеет ли функция $y = f(x)$ точки экстремума:

а) рис. 98;
б) рис. 99;
в) рис. 100;
г) рис. 101.

Точками экстремума функции являются те точки, в которых ее производная равна нулю.

а) Рисунок 98:

Точками экстремума являются точки $x = -\sqrt{3}$ и $x = \sqrt{3}$;

Ответ: имеет.

б) Рисунок 99:

Точками экстремума являются точки $x = -4$, $x = 0$ и $x = 3$;

Ответ: имеет.

в) Рисунок 100:

Точкой экстремума является точка $x = -6$;

Ответ: имеет.

г) Рисунок 101:

Точками экстремума являются точки $x = -2,5$ и $x = 2,75$;

Ответ: имеет.

Точка экстремума функции — это точка, в которой её производная либо равна нулю, либо не существует. При этом знак производной до и после этой точки меняется.

График производной функции $y = f'(x)$:

• Если на графике производной $y = f'(x)$ имеется точка пересечения с осью $x$, то это кандидат на экстремум функции $y = f(x)$.
• Если в окрестности этой точки знак производной меняется (с положительного на отрицательное или наоборот), то это действительно точка экстремума функции.

Теперь перейдем к разбору каждого рисунка.

а) Рисунок 98:

На графике производной $y = f'(x)$ видны две точки, где график пересекает ось $x$: $x = -\sqrt{3}$ и $x = \sqrt{3}$.

В точках пересечения оси $x$ производная равна нулю, и это — кандидаты на экстремумы функции $y = f(x)$.

Для того чтобы эти точки были точками экстремума, необходимо, чтобы знак производной менялся:

• В окрестности $x = -\sqrt{3}$ производная меняет знак с положительного на отрицательное (функция $y = f(x)$ имеет максимум).
• В окрестности $x = \sqrt{3}$ производная меняет знак с отрицательного на положительное (функция $y = f(x)$ имеет минимум).

Таким образом, функция $y = f(x)$ имеет экстремумы в точках $x = -\sqrt{3}$ и $x = \sqrt{3}$.

Ответ: имеет.

б) Рисунок 99:

На графике производной $y = f'(x)$ есть три точки, где график пересекает ось $x$: $x = -4$, $x = 0$ и $x = 3$.

Для каждой из этих точек производная равна нулю, следовательно, это кандидаты на экстремумы.

Проверим изменения знака производной в окрестности этих точек:

• В окрестности $x = -4$ знак производной меняется с отрицательного на положительный (функция $y = f(x)$ имеет минимум).
• В окрестности $x = 0$ знак производной меняется с положительного на отрицательный (функция $y = f(x)$ имеет максимум).
• В окрестности $x = 3$ знак производной меняется с отрицательного на положительный (функция $y = f(x)$ имеет минимум).

Таким образом, функция $y = f(x)$ имеет экстремумы в точках $x = -4$, $x = 0$ и $x = 3$.

Ответ: имеет.

в) Рисунок 100:

На графике производной $y = f'(x)$ есть одна точка, где график пересекает ось $x$: $x = -6$.

В этой точке производная равна нулю, это кандидат на экстремум.

Проверим изменения знака производной в окрестности этой точки:

• В окрестности $x = -6$ знак производной меняется с отрицательного на положительный (функция $y = f(x)$ имеет минимум).

Таким образом, функция $y = f(x)$ имеет экстремум в точке $x = -6$.

Ответ: имеет.

г) Рисунок 101:

На графике производной $y = f'(x)$ видны две точки пересечения с осью $x$: $x = -2,5$ и $x = 2,75$.

В этих точках производная равна нулю, это кандидаты на экстремумы.

Проверим изменения знака производной в окрестности этих точек:

• В окрестности $x = -2,5$ знак производной меняется с положительного на отрицательный (функция $y = f(x)$ имеет максимум).
• В окрестности $x = 2,75$ знак производной меняется с отрицательного на положительный (функция $y = f(x)$ имеет минимум).

Таким образом, функция $y = f(x)$ имеет экстремумы в точках $x = -2,5$ и $x = 2,75$.

Ответ: имеет.