ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 44.43 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Постройте эскиз графика какой-нибудь функции, обладающей указанными свойствами:

а) Функция имеет две точки максимума, одну точку минимума и является ограниченной;

б) Функция возрастает при $x \leqslant 1$ и при $x \geqslant 5$ и убывает на промежутке $[1; 5]$, точка $x = 1$ является критической, а точка $x = 5$ — стационарной;

в) Функция имеет разрыв в точке $x = -2$, максимум в точке $x = -1$ и минимум в точке $x = 1$;

г) Функция имеет горизонтальную асимптоту $y = 3$ при $x \to \infty$, одну точку максимума и одну точку минимума.

а) Функция имеет две точки максимума, одну точку минимума и является ограниченной:

б) Функция возрастает при $x \leq 1$ и при $x \geq 5$ и убывает на промежутке $[1; 5]$, точка $x = 1$ является критической, а точка $x = 5$ — стационарной:

в) Функция имеет разрыв в точке $x = -2$, максимум в точке $x = -1$ и минимум в точке $x = 1$:

г) Функция имеет горизонтальную асимптоту $y = 3$ при $x \to \infty$, одну точку максимума и одну точку минимума:

а) Функция имеет две точки максимума, одну точку минимума и является ограниченной:

График функции:

• Данная функция имеет два максимума, что означает, что существует две точки, в которых функция принимает наибольшие значения в окрестностях этих точек.
• Одно минимальное значение у функции, которое также находится в одной из точек (или в интервале между максимумами).
• Функция ограничена, то есть существует такая верхняя и нижняя граница, между которыми функция изменяется. Это важно для понимания того, что график функции никогда не выходит за пределы этих границ.

Алгоритм построения графика:

• Выберите две точки, которые будут являться максимумами (например, $x = -2$ и $x = 3$), и одну точку минимума (например, $x = 0$).
• Убедитесь, что на всем промежутке между точками максимумов функция не выходит за пределы между этими максимальными и минимальными значениями.
• График должен быть ограничен вертикальными и горизонтальными прямыми, обозначающими пределы значений функции.
• Важно, чтобы функция не имела асимптот, разрывов или других особенностей, выходящих за рамки ограниченности.

б) Функция возрастает при $x \leq 1$ и при $x \geq 5$ и убывает на промежутке $[1; 5]$, точка $x = 1$ является критической, а точка $x = 5$ — стационарной:

Ключевые моменты:

• Функция возрастает при $x \leq 1$ и при $x \geq 5$. Это значит, что её производная на этих интервалах положительна.
• На промежутке $[1; 5]$ функция убывает, следовательно, её производная отрицательна на этом промежутке.
• Точка $x = 1$ является критической. Это означает, что в этой точке производная функции равна нулю, и возможно существует экстремум (максимум или минимум) или точка перегиба.
• Точка $x = 5$ — стационарная. Это также означает, что производная функции равна нулю в этой точке, но на этом промежутке функция уже убывает.

Алгоритм построения графика:

• Начнем с построения двух интервалов: до точки $x = 1$ и после точки $x = 5$, где функция возрастает.
• Далее, на промежутке между $x = 1$ и $x = 5$, нарисуем убывающую часть функции.
• Убедитесь, что на точке $x = 1$ функция имеет критическую точку (то есть касательная к графику будет горизонтальной).
• На точке $x = 5$ функция должна быть стационарной, то есть график также будет иметь горизонтальную касательную, но дальше функция не будет изменяться на этом интервале.

в) Функция имеет разрыв в точке $x = -2$, максимум в точке $x = -1$ и минимум в точке $x = 1$:

Ключевые моменты:

• Разрыв функции в точке $x = -2$ означает, что график функции в этой точке либо не определен, либо имеет скачок (например, переход от положительного значения к отрицательному или наоборот).
• Функция имеет максимум в точке $x = -1$, что означает, что значение функции в этой точке больше, чем на некой окрестности вокруг этой точки.
• Минимум функции находится в точке $x = 1$, что аналогично максиму, но наоборот — значение функции в этой точке меньше, чем в окрестности этой точки.

Алгоритм построения графика:

• Начнем с разрыва функции в точке $x = -2$. Для этого нужно провести вертикальную линию в этой точке, чтобы показать отсутствие значений функции в этой точке.
• После разрыва добавим максимум в точке $x = -1$ и минимум в точке $x = 1$, соблюдая, что значение функции в точке $x = -1$ выше, чем в ближайших точках, а в точке $x = 1$ ниже, чем в соседних точках.
• Построив такие участки графика, удостоверьтесь, что между максимумом и минимумом функция не имеет разрывов и изменений направления.

г) Функция имеет горизонтальную асимптоту $y = 3$ при $x \to \infty$, одну точку максимума и одну точку минимума:

Ключевые моменты:

• Горизонтальная асимптота $y = 3$ означает, что по мере того, как $x$ стремится к бесконечности, значение функции приближается к 3.
• Функция имеет одну точку максимума и одну точку минимума. Это значит, что между двумя экстремумами функция будет изменять направление своего роста и спада.

Алгоритм построения графика:

• Начнем с горизонтальной асимптоты $y = 3$, что будет означать, что при $x \to \infty$ график будет приближаться к прямой $y = 3$.
• Далее, добавим максимум в определенной точке, например, при $x = 2$, и минимум в точке $x = 5$.
• Убедимся, что функция сначала возрастает, достигая максимума, затем убывает до минимума и снова возрастает, стремясь к асимптоте.