ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 44.45 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Может ли иметь только одну точку экстремума:

a) четная функция;

б) нечетная функция;

в) периодическая функция;

г) монотонная функция?

а) Четная функция может иметь только одну точку экстремума, которая находится в ее вершине, так как функция симметрична относительно оси $y$, то характер ее монотонности изменяется в этой точке;

б) Нечетная функция не может иметь только одну точку экстремума, так как она симметрична относительно точки начала координат, то характер ее монотонности не изменяется в этой точке;

в) Периодическая функция не может иметь только одну точку экстремума, так как ее значение периодически повторяется, а значит характер монотонности функции постоянно изменяется;

г) Монотонная функция не может иметь ни одного экстремума;

Ответ: а) да; б–г) нет.

а) Четная функция

Четная функция — это такая функция $f(x)$, для которой выполняется условие:

$$f(-x) = f(x) \quad \text{для всех } x.$$

Это означает, что график четной функции симметричен относительно оси $y$.

Теперь рассмотрим экстремум. Экстремумы функции могут быть минимумами или максимумами, то есть точками, где функция достигает наибольшего или наименьшего значения на некотором интервале.

Анализ:

• Поскольку четная функция симметрична относительно оси $y$, то если у функции есть экстремум в точке $x = a$, то из симметрии функции следует, что в точке $x = -a$ также будет экстремум. Таким образом, для четной функции, если она имеет экстремумы, то они обязательно расположены парно относительно оси $y$, то есть в точках $x = a$ и $x = -a$.
• Исключение составляют такие функции, у которых экстремум находится в самой вершине, то есть в точке $x = 0$, где эта симметрия уходит в одну точку.

Вывод:
Четная функция может иметь только одну точку экстремума, если экстремум расположен в вершине графика, то есть в точке $x = 0$. Например, функция $f(x) = -x^2$ имеет экстремум в точке $x = 0$ (максимум), и в этой точке функция не изменяет свой характер монотонности.

б) Нечетная функция

Нечетная функция — это такая функция $f(x)$, для которой выполняется условие:

$$f(-x) = -f(x) \quad \text{для всех } x.$$

Это означает, что график нечетной функции симметричен относительно начала координат.

Анализ:

• Если функция симметрична относительно начала координат, то если точка $x = a$ является экстремумом, то и точка $x = -a$ также должна быть экстремумом, так как симметрия предполагает идентичные значения функции в этих точках, но противоположные знаки производных.
• Это означает, что нечетная функция не может иметь экстремум только в одной точке, так как симметрия относительно начала координат требует, чтобы экстремумы располагались парно.

Вывод:
Нечетная функция не может иметь только одну точку экстремума. Если она имеет экстремумы, они должны быть расположены в парах (например, в точках $x = a$ и $x = -a$).

в) Периодическая функция

Периодическая функция — это такая функция $f(x)$, для которой существует постоянная $T > 0$, называемая периодом, такая что:

$$f(x + T) = f(x) \quad \text{для всех } x.$$

График периодической функции повторяется через каждый период $T$, и значения функции на интервале от $0$ до $T$ повторяются на каждом следующем интервале длины $T$.

Анализ:

• Периодическая функция имеет регулярную структуру, где ее значения повторяются через определенный интервал.
• В каждой периодической функции существуют множественные экстремумы, так как она многократно проходит через свои локальные минимумы и максимумы на каждом интервале длины $T$. Например, синусоида $f(x) = \sin(x)$ имеет экстремумы в каждой точке $x = \frac{\pi}{2} + n\pi$ для всех целых $n$, что означает бесконечное количество экстремумов на всей области определения.
• Следовательно, периодическая функция не может иметь только одну точку экстремума, так как ее поведение повторяется через каждый период, что подразумевает наличие множества экстремумов.

Вывод:
Периодическая функция не может иметь только одну точку экстремума. Она всегда будет иметь экстремумы, повторяющиеся через каждый период.

г) Монотонная функция

Монотонная функция — это такая функция, которая либо всегда возрастает, либо всегда убывает на своем определенном интервале. Это значит, что производная функции не меняет знак на этом интервале.

Анализ:

• Монотонная функция не может иметь экстремумов, поскольку экстремум предполагает изменение знака производной функции (из возрастания в убывание или наоборот), а для монотонной функции знак производной на интервале не меняется. То есть, если функция возрастает (или убывает) на интервале, то она не может иметь точки, где она достигала бы максимума или минимума.
• Монотонные функции могут иметь только точки перегиба (если они не являются линейными), но не могут иметь экстремумы.

Вывод:
Монотонная функция не может иметь ни одного экстремума, так как для экстремума необходимо изменение характера монотонности, а монотонность предполагает однообразное изменение функции.

Итоговый ответ:

• а) Четная функция может иметь только одну точку экстремума (в вершине).
• б) Нечетная функция не может иметь только одну точку экстремума.
• в) Периодическая функция не может иметь только одну точку экстремума.
• г) Монотонная функция не может иметь ни одного экстремума.