ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 44.46 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

По графику функции $y = f(x)$, $x \in \mathbb{R}$, изображённому на заданном рисунке, постройте эскиз графика её производной:

а) рис. 121;
б) рис. 122;
в) рис. 123;
г) рис. 124.

а) Рисунок 121:

б) Рисунок 122:

в) Рисунок 123:

г) Рисунок 124:

Часть а) — рис. 121

График функции: Представлен график функции $y = f(x)$, который является гладкой кривой, имеет одну точку максимума в точке $x = a$ и спускается до точки $x = b$.

Производная: Производная функции $f(x)$ будет соответствовать наклону касательных к кривой графика.

• На интервале $(a, b)$ график функции $f(x)$ убывает, а это значит, что производная $f'(x)$ будет отрицательной.
• В точке $x = a$ (максимум функции) производная будет равна нулю, так как касательная горизонтальна.
• В точке $x = b$ производная также будет равна нулю, так как график становится горизонтальным.

Эскиз графика производной: Производная будет иметь вид кривой, которая:

• на интервале $(a, b)$ будет отрицательной;
• будет иметь нули в точках $x = a$ и $x = b$;
• на графике будет выглядеть как линия, стремящаяся к нулю в точках $a$ и $b$, но всегда оставаясь отрицательной между этими точками.

Часть б) — рис. 122

График функции: Этот график представляет собой параболу, открывающуюся вниз, с вершиной в точке $x = a$ и нулями в точках $x = a$ и $x = b$.

Производная: Вершина параболы в точке $x = a$ указывает на то, что производная в этой точке будет равна нулю.

• Производная на интервале $(a, b)$ будет отрицательной, так как парабола спускается вниз.
• В точках $x = a$ и $x = b$ график функции касается оси $x$, что означает, что производная будет равна нулю.

Эскиз графика производной: Производная будет линейной, отрицательной на интервале $(a, b)$, и равной нулю в точках $x = a$ и $x = b$.

Часть в) — рис. 123

График функции: Этот график представляет собой полигональную функцию, которая сначала возрастает на интервале $(a, b)$, затем убывает на интервале $(b, c)$.

Производная: Производная будет положительной на интервале $(a, b)$ (где функция возрастает), и отрицательной на интервале $(b, c)$ (где функция убывает).

• В точке $x = b$ график функции меняет направление, и производная будет равна нулю.

Эскиз графика производной: Производная будет положительной на интервале $(a, b)$, отрицательной на интервале $(b, c)$ и нулевой в точке $x = b$.

Часть г) — рис. 124

График функции: Здесь изображён график функции, который представляет собой ступенчатую функцию. Функция остаётся постоянной на интервале $(a, b)$, а затем резко увеличивается в точке $x = b$.

Производная: На интервале $(a, b)$ функция остаётся постоянной, то есть её производная равна нулю. В точке $x = b$ происходит скачок функции, что говорит о том, что производная в этой точке не существует (производная для ступенчатой функции в точке скачка не определена).

Эскиз графика производной: Производная будет равна нулю на интервале $(a, b)$, а затем не существует в точке $x = b$.