ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 44.48 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Найдите точки экстремума заданной функции и определите их характер:

а) $y = 2x^2 — 7x + 1$;

б) $y = 3 — 5x — x^2$;

в) $y = 4x^2 — 6x — 7$;

г) $y = -3x^2 — 12x + 50$

а) $y = 2x^2 — 7x + 1$;
$y’ = 2(x^2)’ — (7x — 1)’ = 2 \cdot 2x — 7 = 4x — 7$;
Промежуток возрастания:
$4x — 7 \geq 0$;
$4x \geq 7$, отсюда $x \geq \frac{7}{4}$;
Ответ: $x = \frac{7}{4}$ — точка минимума.

б) $y = 3 — 5x — x^2$;
$y’ = (3 — 5x)’ — (x^2)’ = -5 — 2x$;
Промежуток возрастания:
$-5 — 2x \geq 0$;
$-5 \geq 2x$, отсюда $x \leq -2,5$;
Ответ: $x = -2,5$ — точка максимума.

в) $y = 4x^2 — 6x — 7$;
$y’ = 4(x^2)’ — (6x + 7)’ = 4 \cdot 2x — 6 = 8x — 6$;
Промежуток возрастания:
$8x — 6 \geq 0$;
$8x \geq 6$, отсюда $x \geq \frac{3}{4}$;
Ответ: $x = \frac{3}{4}$ — точка минимума.

г) $y = -3x^2 — 12x + 50$;
$y’ = -3(x^2)’ — (12x — 50)’ = -3 \cdot 2x — 12 = -6x — 12$;
Промежуток возрастания:
$-6x — 12 \geq 0$;
$-12 \geq 6x$, отсюда $x \leq -2$;
Ответ: $x = -2$ — точка максимума.

а) $y = 2x^2 — 7x + 1$

Нахождение производной $y’$:

Для функции $y = 2x^2 — 7x + 1$ находим производную по $x$, используя стандартные правила дифференцирования:

• Производная от $2x^2$ — это $2 \cdot 2x = 4x$ (по правилу дифференцирования степенной функции).
• Производная от $-7x$ — это $-7$ (производная от $x$ равна 1, и остается только множитель).
• Производная от постоянного числа $1$ — это $0$ (производная от константы всегда равна нулю).

Таким образом, производная функции $y = 2x^2 — 7x + 1$ будет:

$$y’ = 4x — 7$$

Промежуток возрастания:

Чтобы найти промежуток возрастания, нужно решить неравенство $y’ \geq 0$, то есть $4x — 7 \geq 0$.

Решаем это неравенство:

$$4x — 7 \geq 0$$ $$4x \geq 7$$ $$x \geq \frac{7}{4}$$

Таким образом, функция возрастает на промежутке $x \geq \frac{7}{4}$.

Ответ:

$x = \frac{7}{4}$ — точка минимума, так как производная меняет знак с отрицательного на положительный при $x = \frac{7}{4}$.

б) $y = 3 — 5x — x^2$

Нахождение производной $y’$:

Для функции $y = 3 — 5x — x^2$ находим производную по $x$:

• Производная от $3$ — это $0$ (константа).
• Производная от $-5x$ — это $-5$ (производная от $x$ равна 1).
• Производная от $-x^2$ — это $-2x$ (по правилу дифференцирования степенной функции).

Таким образом, производная функции $y = 3 — 5x — x^2$ будет:

$$y’ = -5 — 2x$$

Промежуток возрастания:

Чтобы найти промежуток возрастания, нужно решить неравенство $y’ \geq 0$, то есть $-5 — 2x \geq 0$.

Решаем это неравенство:

$$-5 — 2x \geq 0$$ $$-2x \geq 5$$ $$x \leq -2,5$$

Таким образом, функция возрастает на промежутке $x \leq -2,5$.

Ответ:

$x = -2,5$ — точка максимума, так как производная меняет знак с положительного на отрицательный при $x = -2,5$.

в) $y = 4x^2 — 6x — 7$

Нахождение производной $y’$:

Для функции $y = 4x^2 — 6x — 7$ находим производную по $x$:

• Производная от $4x^2$ — это $4 \cdot 2x = 8x$ (по правилу дифференцирования степенной функции).
• Производная от $-6x$ — это $-6$ (производная от $x$ равна 1).
• Производная от $-7$ — это $0$ (константа).

Таким образом, производная функции $y = 4x^2 — 6x — 7$ будет:

$$y’ = 8x — 6$$

Промежуток возрастания:

Чтобы найти промежуток возрастания, нужно решить неравенство $y’ \geq 0$, то есть $8x — 6 \geq 0$.

Решаем это неравенство:

$$8x — 6 \geq 0$$ $$8x \geq 6$$ $$x \geq \frac{3}{4}$$

Таким образом, функция возрастает на промежутке $x \geq \frac{3}{4}$.

Ответ:

$x = \frac{3}{4}$ — точка минимума, так как производная меняет знак с отрицательного на положительный при $x = \frac{3}{4}$.

г) $y = -3x^2 — 12x + 50$

Нахождение производной $y’$:

Для функции $y = -3x^2 — 12x + 50$ находим производную по $x$:

• Производная от $-3x^2$ — это $-3 \cdot 2x = -6x$ (по правилу дифференцирования степенной функции).
• Производная от $-12x$ — это $-12$ (производная от $x$ равна 1).
• Производная от $50$ — это $0$ (константа).

Таким образом, производная функции $y = -3x^2 — 12x + 50$ будет:

$$y’ = -6x — 12$$

Промежуток возрастания:

Чтобы найти промежуток возрастания, нужно решить неравенство $y’ \geq 0$, то есть $-6x — 12 \geq 0$.

Решаем это неравенство:

$$-6x — 12 \geq 0$$ $$-6x \geq 12$$ $$x \leq -2$$

Таким образом, функция возрастает на промежутке $x \leq -2$.

Ответ:

$x = -2$ — точка максимума, так как производная меняет знак с положительного на отрицательный при $x = -2$.

Итоговые ответы:

а) $x = \frac{7}{4}$ — точка минимума.

б) $x = -2,5$ — точка максимума.

в) $x = \frac{3}{4}$ — точка минимума.

г) $x = -2$ — точка максимума.