ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 44.49 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Найдите точки экстремума заданной функции и определите их характер:

а) $y = \frac{x^3}{3} — \frac{5}{2}x^2 + 6x — 1$;

б) $y = x^3 — 27x + 26$;

в) $y = x^3 — 7x^2 — 5x + 11$;

г) $y = 2x^3 — 21x^2 + 19$

а) $y = \frac{x^3}{3} — \frac{5}{2}x^2 + 6x — 1$;

$y’ = \frac{1}{3}(x^3)’ — \frac{5}{2}(x^2)’ + (6x — 1)’$;

$y’ = \frac{1}{3} \cdot 3x^2 — \frac{5}{2} \cdot 2x + 6 = x^2 — 5x + 6$;

Промежуток возрастания:

$x^2 — 5x + 6 = 0$;

$D = 5^2 — 4 \cdot 6 = 25 — 24 = 1$, тогда:

$x_1 = \frac{5 — 1}{2} = 2$ и $x_2 = \frac{5 + 1}{2} = 3$;

$(x — 2)(x — 3) \geq 0$;

$x \leq 2$ или $x \geq 3$;

Ответ: $x = 2$ — точка максимума;

$x = 3$ — точка минимума.

б) $y = x^3 — 27x + 26$;

$y’ = (x^3)’ — (27x — 26)’ = 3x^2 — 27$;

Промежуток возрастания:

$3x^2 — 27 \geq 0$;

$x^2 — 9 \geq 0$;

$(x + 3)(x — 3) \geq 0$;

$x \leq -3$ или $x \geq 3$;

Ответ: $x = -3$ — точка максимума;

$x = 3$ — точка минимума.

в) $y = x^3 — 7x^2 — 5x + 11$;

$y’ = (x^3)’ — 7(x^2)’ — (5x — 11)’$;

$y’ = 3x^2 — 7 \cdot 2x — 5 = 3x^2 — 14x — 5$;

Промежуток возрастания:

$3x^2 — 14x — 5 = 0$;

$D = 14^2 + 3 \cdot 4 \cdot 5 = 196 + 60 = 256 = 16^2$, тогда:

$x_1 = \frac{14 — 16}{2 \cdot 3} = \frac{-2}{6} = -\frac{1}{3}$ и $x_2 = \frac{14 + 16}{2 \cdot 3} = \frac{30}{6} = 5$;

$3\left(x + \frac{1}{3}\right)(x — 5) \geq 0$;

$x \leq -\frac{1}{3}$ или $x \geq 5$;

Ответ: $x = -\frac{1}{3}$ — точка максимума;

$x = 5$ — точка минимума.

г) $y = 2x^3 — 21x^2 + 19$;

$y’ = 2(x^3)’ — 21(x^2)’ + (19)’$;

$y’ = 2 \cdot 3x^2 — 21 \cdot 2x + 0 = 6x^2 — 42x$;

Промежуток возрастания:

$6x^2 — 42x \geq 0$;

$x^2 — 7x \geq 0$;

$x(x — 7) \geq 0$;

$x \leq 0$ или $x \geq 7$;

Ответ: $x = 0$ — точка максимума;

$x = 7$ — точка минимума.

а) $y = \frac{x^3}{3} — \frac{5}{2}x^2 + 6x — 1$

Нахождение производной:

Для нахождения производной функции $y$, нужно применить правила дифференцирования.

• Производная от $\frac{x^3}{3}$ — это $\frac{1}{3}$ умножить на производную от $x^3$, которая равна $3x^2$. То есть:

$$\left( \frac{x^3}{3} \right)’ = \frac{1}{3} \cdot 3x^2 = x^2$$

• Производная от $-\frac{5}{2}x^2$ — это $-\frac{5}{2}$ умножить на производную от $x^2$, которая равна $2x$. То есть:

$$\left( -\frac{5}{2}x^2 \right)’ = -\frac{5}{2} \cdot 2x = -5x$$

• Производная от $6x$ — это просто $6$.
• Производная от постоянной $-1$ — это $0$.

Итак, производная функции $y$ будет:

$$y’ = x^2 — 5x + 6$$

Нахождение промежутков возрастания и убывания:

Чтобы найти промежутки возрастания функции, нужно найти такие значения $x$, при которых $y’ > 0$.

Для этого решим неравенство:

$$x^2 — 5x + 6 \geq 0$$

• Для нахождения корней этого квадратного уравнения используем дискриминант:

$$D = (-5)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 6 = 25 — 24 = 1$$

Корни уравнения:

$$x_1 = \frac{-(-5) — \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{5 — 1}{2} = 2$$ $$x_2 = \frac{-(-5) + \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{5 + 1}{2} = 3$$

Таким образом, у нас есть два корня: $x_1 = 2$ и $x_2 = 3$. Мы можем разложить квадратное выражение $x^2 — 5x + 6$ на множители:

$$(x — 2)(x — 3) \geq 0$$

Теперь определим, при каких значениях $x$ выражение $(x — 2)(x — 3) \geq 0$.

• При $x \leq 2$, оба множителя $(x — 2)$ и $(x — 3)$ отрицательные, их произведение будет положительным.
• При $2 \leq x \leq 3$, один множитель положительный, а второй отрицательный, их произведение будет отрицательным.
• При $x \geq 3$, оба множителя положительные, их произведение будет положительным.

Таким образом, промежутки, при которых выражение $(x — 2)(x — 3) \geq 0$, это:

$$x \leq 2 \quad \text{или} \quad x \geq 3$$

Теперь определим, где функция возрастает, а где убывает:

• Функция возрастает на промежутке $(-\infty, 2] \cup [3, \infty)$.
• Функция убывает на промежутке $(2, 3)$.

Определение точек максимума и минимума:

• При $x = 2$ функция имеет точку максимума, так как производная меняет знак с положительного на отрицательное.
• При $x = 3$ функция имеет точку минимума, так как производная меняет знак с отрицательного на положительное.

Ответ:

• $x = 2$ — точка максимума.
• $x = 3$ — точка минимума.

б) $y = x^3 — 27x + 26$

Нахождение производной:

Для нахождения производной функции $y = x^3 — 27x + 26$, дифференцируем каждое слагаемое:

• Производная от $x^3$ — это $3x^2$.
• Производная от $-27x$ — это $-27$.
• Производная от постоянной $26$ — это $0$.

Таким образом, производная будет:

$$y’ = 3x^2 — 27$$

Нахождение промежутков возрастания и убывания:

Для нахождения промежутков возрастания решим неравенство:

$$3x^2 — 27 \geq 0$$

Решим его:

$$x^2 — 9 \geq 0$$ $$(x — 3)(x + 3) \geq 0$$

Теперь определим, при каких значениях $x$ выражение $(x — 3)(x + 3) \geq 0$:

• При $x \leq -3$ или $x \geq 3$, произведение будет положительным.
• При $-3 < x < 3$, произведение будет отрицательным.

Таким образом, промежутки, на которых функция возрастает:

$$x \leq -3 \quad \text{или} \quad x \geq 3$$

Определение точек максимума и минимума:

• При $x = -3$ функция имеет точку максимума, так как производная меняет знак с положительного на отрицательное.
• При $x = 3$ функция имеет точку минимума, так как производная меняет знак с отрицательного на положительное.

Ответ:

• $x = -3$ — точка максимума.
• $x = 3$ — точка минимума.

в) $y = x^3 — 7x^2 — 5x + 11$

Нахождение производной:

Для нахождения производной функции $y = x^3 — 7x^2 — 5x + 11$:

• Производная от $x^3$ — это $3x^2$.
• Производная от $-7x^2$ — это $-14x$.
• Производная от $-5x$ — это $-5$.
• Производная от $11$ — это $0$.

Таким образом, производная будет:

$$y’ = 3x^2 — 14x — 5$$

Нахождение промежутков возрастания и убывания:

Решим неравенство:

$$3x^2 — 14x — 5 \geq 0$$

Находим дискриминант:

$$D = (-14)^2 — 4 \cdot 3 \cdot (-5) = 196 + 60 = 256$$

Корни уравнения:

$$x_1 = \frac{-(-14) — \sqrt{256}}{2 \cdot 3} = \frac{14 — 16}{6} = -\frac{1}{3}$$ $$x_2 = \frac{-(-14) + \sqrt{256}}{2 \cdot 3} = \frac{14 + 16}{6} = 5$$

Таким образом, у нас есть два корня: $x_1 = -\frac{1}{3}$ и $x_2 = 5$. Разложим квадратное выражение на множители:

$$3\left(x + \frac{1}{3}\right)(x — 5) \geq 0$$

Теперь определим, при каких значениях $x$ выражение $3\left(x + \frac{1}{3}\right)(x — 5) \geq 0$:

• При $x \leq -\frac{1}{3}$ или $x \geq 5$, выражение будет положительным.
• При $-\frac{1}{3} < x < 5$, выражение будет отрицательным.

Таким образом, промежутки, на которых функция возрастает:

$$x \leq -\frac{1}{3} \quad \text{или} \quad x \geq 5$$

Определение точек максимума и минимума:

• При $x = -\frac{1}{3}$ функция имеет точку максимума.
• При $x = 5$ функция имеет точку минимума.

Ответ:

• $x = -\frac{1}{3}$ — точка максимума.
• $x = 5$ — точка минимума.

г) $y = 2x^3 — 21x^2 + 19$

Нахождение производной:

Для нахождения производной функции $y = 2x^3 — 21x^2 + 19$:

• Производная от $2x^3$ — это $6x^2$.
• Производная от $-21x^2$ — это $-42x$.
• Производная от $19$ — это $0$.

Таким образом, производная будет:

$$y’ = 6x^2 — 42x$$

Нахождение промежутков возрастания и убывания:

Решим неравенство:

$$6x^2 — 42x \geq 0$$

Выносим общий множитель $6x$:

$$6x(x — 7) \geq 0$$

Теперь определим, при каких значениях $x$ выражение $6x(x — 7) \geq 0$:

• При $x \leq 0$ или $x \geq 7$, произведение будет положительным.
• При $0 < x < 7$, произведение будет отрицательным.

Таким образом, промежутки, на которых функция возрастает:

$$x \leq 0 \quad \text{или} \quad x \geq 7$$

Определение точек максимума и минимума:

• При $x = 0$ функция имеет точку максимума.
• При $x = 7$ функция имеет точку минимума.

Ответ:

• $x = 0$ — точка максимума.
• $x = 7$ — точка минимума.