ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 44.50 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Найдите точки экстремума заданной функции и определите их характер:

а) $y=5x^5-3x^3$;

б) $y=x^4-4x^3-8x^2+13$;

в) $y=x^4-50x^2$;

г) $y=2x^5+5x^4-10x^3+3$

а) $y=5x^5-3x^3$;

$y^{\mathrm{\prime }}=5(x^5{)}^{\mathrm{\prime }}-3(x^3{)}^{\mathrm{\prime }}=5\cdot 5x^4-3\cdot 3x^2=25x^4-9x^2$;

Промежуток возрастания:

$25x^4-9x^2\ge 0$;

$x^2(25x^2-9)\ge 0$;

$(5x-3)(5x+3)\ge 0$;

$x\le -\frac{3}{5}$ или $x\ge \frac{3}{5}$;

Ответ: $x=-0,6$ — точка максимума;

$x=0,6$ — точка минимума.

б) $y=x^4-4x^3-8x^2+13$;

$y^{\mathrm{\prime }}=(x^4{)}^{\mathrm{\prime }}-4(x^3{)}^{\mathrm{\prime }}-8(x^2{)}^{\mathrm{\prime }}+(13{)}^{\mathrm{\prime }}$;

$y^{\mathrm{\prime }}=4x^3-4\cdot 3x^2-8\cdot 2x+0=4x^3-12x^2-16x$;

Промежуток возрастания:

$4x^3-12x^2-16x=0$;

$4x(x^2-3x-4)=0$;

$D=3^2+4\cdot 4=9+16=25$, тогда:

$x_1=\frac{3-5}{2}=-1$ и $x_2=\frac{3+5}{2}=4$;

$(x+1)\cdot 4x\cdot (x-4)\ge 0$;

$-1\le x\le 0$ или $x\ge 4$;

Ответ: $x=0$ — точка максимума;

$x=-1$ и $x=4$ — точки минимума.

в) $y=x^4-50x^2$;

$y^{\mathrm{\prime }}=(x^4{)}^{\mathrm{\prime }}-50(x^2{)}^{\mathrm{\prime }}=4x^3-50\cdot 2x=4x^3-100x$;

Промежуток возрастания:

$4x^3-100x\ge 0$;

$4x(x^2-25)\ge 0$;

$(x+5)\cdot 4x\cdot (x-5)\ge 0$;

$-5\le x\le 0$ или $x\ge 5$;

Ответ: $x=0$ — точка максимума;

$x=-5$ и $x=5$ — точки минимума.

г) $y=2x^5+5x^4-10x^3+3$;

$y^{\mathrm{\prime }}=2(x^5{)}^{\mathrm{\prime }}+5(x^4{)}^{\mathrm{\prime }}-10(x^3{)}^{\mathrm{\prime }}+(3{)}^{\mathrm{\prime }}$;

$y^{\mathrm{\prime }}=2\cdot 5x^4+5\cdot 4x^3-10\cdot 3x^2+0=10x^4+20x^3-30x^2$;

Промежуток возрастания:

$10x^4+20x^3-30x^2=0$;

$x^4+2x^3-3x^2=0$;

$x^2+2x-3=0$;

$D=2^2+4\cdot 3=4+12=16$, тогда:

$x_1=\frac{-2-4}{2}=-3$ и $x_2=\frac{-2+4}{2}=1$;

$(x+3)(x-1)\ge 0$;

$x\le -3$ или $x\ge 1$;

Ответ: $x=-3$ — точка максимума;

$x=1$ — точка минимума.

а) $y=5x^5-3x^3$

Нахождение производной:
Мы начинаем с того, что находим производную функции $y$.

$$y=5x^5-3x^3$$

Применим правила дифференцирования (степенная форма):

$$y^{\mathrm{\prime }}=\frac{d}{dx}(5x^5)-\frac{d}{dx}(3x^3)$$

Производная от $5x^5$ по формуле $\frac{d}{dx}(x^n)=n\cdot x^{n-1}$:

$$\frac{d}{dx}(5x^5)=5\cdot 5x^4=25x^4$$

Аналогично для $3x^3$:

$$\frac{d}{dx}(3x^3)=3\cdot 3x^2=9x^2$$

Тогда производная функции:

$$y^{\mathrm{\prime }}=25x^4-9x^2$$

Нахождение критических точек:
Критические точки находим, приравняв первую производную к нулю:

$$25x^4-9x^2=0$$

Вынесем общий множитель $x^2$:

$$x^2(25x^2-9)=0$$

Это уравнение имеет два решения:

• $x^2=0\Rightarrow x=0$
• $25x^2-9=0\Rightarrow x^2=\frac{9}{25}\Rightarrow x=\pm \frac{3}{5}$

Таким образом, критические точки: $x=0$, $x=-\frac{3}{5}$, $x=\frac{3}{5}$.

Проверка знака второй производной для определения вида критической точки:
Для того чтобы определить, является ли критическая точка максимумом или минимумом, мы можем использовать вторую производную:

$$y^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}=\frac{d}{dx}(25x^4-9x^2)=25\cdot 4x^3-9\cdot 2x=100x^3-18x$$

Теперь подставим найденные значения $x$:

• При $x=0$: $y^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(0)=100\cdot 0^3-18\cdot 0=0$, следовательно, второй производной не достаточно для определения типа точки.
• При $x=-\frac{3}{5}$: Подставим значение в $y^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}$:$$y^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(-\frac{3}{5})=100{(-\frac{3}{5})}^3-18(-\frac{3}{5})=-\frac{2700}{125}+\frac{54}{5}=$$

$$=-21.6+10.8=-10.8$$

Поскольку $y^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}<0$, то точка $x=-\frac{3}{5}$ — точка максимума.

• При $x=\frac{3}{5}$: Подставим значение в $y^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}$:$$y^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}\left(\frac{3}{5}\right)=100{\left(\frac{3}{5}\right)}^3-18\left(\frac{3}{5}\right)=\frac{2700}{125}-\frac{54}{5}=21.6-10.8=10.8$$

  Поскольку $y^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}>0$, то точка $x=\frac{3}{5}$ — точка минимума.

Ответ:

• Точка максимума: $x=-\frac{3}{5}$ или $x=-0.6$
• Точка минимума: $x=\frac{3}{5}$ или $x=0.6$

б) $y=x^4-4x^3-8x^2+13$

Нахождение производной:

$$y=x^4-4x^3-8x^2+13$$

Производная функции:

$$y^{\mathrm{\prime }}=\frac{d}{dx}(x^4)-4\frac{d}{dx}(x^3)-8\frac{d}{dx}(x^2)+\frac{d}{dx}(13)$$$$y^{\mathrm{\prime }}=4x^3-12x^2-16x$$

Нахождение критических точек:

Приравниваем первую производную к нулю:

$$4x^3-12x^2-16x=0$$

Вынесем общий множитель:

$$4x(x^2-3x-4)=0$$

Это уравнение имеет два решения:

• $x=0$
• $x^2-3x-4=0$

Для решения квадратного уравнения используем дискриминант:

$$D=(-3{)}^2-4\cdot 1\cdot (-4)=9+16=25$$

Тогда:

$$x_1=\frac{-(-3)-\sqrt{25}}{2\cdot 1}=\frac{3-5}{2}=-1$$$$x_2=\frac{-(-3)+\sqrt{25}}{2\cdot 1}=\frac{3+5}{2}=4$$

Таким образом, критические точки: $x=0$, $x=-1$, $x=4$.

Проверка знака второй производной:

Найдем вторую производную:

$$y^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}=\frac{d}{dx}(4x^3-12x^2-16x)=12x^2-24x-16$$

Подставим найденные критические точки в вторую производную:

• При $x=-1$:$$y^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(-1)=12(-1{)}^2-24(-1)-16=12+24-16=20$$

$$\mathrm{}(y^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}>0\Rightarrow \text{минимум})$$

• При $x=0$:$$y^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(0)=12(0{)}^2-24(0)-16=-16(y^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}<0\Rightarrow \text{максимум})$$
• При $x=4$:$$y^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(4)=12(4{)}^2-24(4)-16=192-96-16=80(y^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}>0\Rightarrow \text{минимум})$$

Ответ:

• Точка максимума: $x=0$
• Точки минимума: $x=-1$ и $x=4$

в) $y=x^4-50x^2$

Нахождение производной:

$$y=x^4-50x^2$$

Производная функции:

$$y^{\mathrm{\prime }}=4x^3-100x$$

Нахождение критических точек:

Приравниваем первую производную к нулю:

$$4x^3-100x=0$$

Вынесем общий множитель:

$$4x(x^2-25)=0$$

Это уравнение имеет два решения:

• $x=0$
• $x^2-25=0\Rightarrow x=\pm 5$

Таким образом, критические точки: $x=0$, $x=-5$, $x=5$.

Проверка знака второй производной:

Найдем вторую производную:

$$y^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}=\frac{d}{dx}(4x^3-100x)=12x^2-100$$

Подставим найденные критические точки в вторую производную:

• При $x=0$:$$y^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(0)=12(0{)}^2-100=-100(y^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}<0\Rightarrow \text{максимум})$$
• При $x=-5$:$$y^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(-5)=12(-5{)}^2-100=12\cdot 25-100=300-100=200$$

$$\mathrm{}(y^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}>0\Rightarrow \text{минимум})$$

• При $x=5$:$$y^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(5)=12(5{)}^2-100=12\cdot 25-100=300-100=200(y^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}>0\Rightarrow \text{минимум})$$

Ответ:

• Точка максимума: $x=0$
• Точки минимума: $x=-5$ и $x=5$

г) $y=2x^5+5x^4-10x^3+3$

Нахождение производной:

$$y=2x^5+5x^4-10x^3+3$$

Производная функции:

$$y^{\mathrm{\prime }}=10x^4+20x^3-30x^2$$

Нахождение критических точек:

Приравниваем первую производную к нулю:

$$10x^4+20x^3-30x^2=0$$

Вынесем общий множитель:

$$10x^2(x^2+2x-3)=0$$

Решим квадратное уравнение $x^2+2x-3=0$ с помощью дискриминанта:

$$D=2^2-4\cdot 1\cdot (-3)=4+12=16$$

Таким образом:

$$x_1=\frac{-2-4}{2}=-3\text{и}{x}_2=\frac{-2+4}{2}=1$$

Таким образом, критические точки: $x=0$, $x=-3$, $x=1$.

Проверка знака второй производной:

Найдем вторую производную:

$$y^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}=40x^3+60x^2-60x$$

Подставим найденные критические точки в вторую производную:

• При $x=-3$:$$y^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(-3)=40(-3{)}^3+60(-3{)}^2-60(-3)=-1080+540+180=$$

$$=-360(y^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}<0\Rightarrow \text{максимум})$$

• При $x=1$:$$y^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(1)=40(1{)}^3+60(1{)}^2-60(1)=40+60-60=40(y^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}>0\Rightarrow \text{минимум})$$

Ответ:

• Точка максимума: $x=-3$
• Точка минимума: $x=1$