ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 44.51 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Найдите точки экстремума заданной функции и определите их характер:

а) $y = x + \frac{4}{x}$;

б) $y=\frac{x^2+9}{x}$

а) $y = x + \frac{4}{x}$;

$y’ = (x)’ + 4 \left( \frac{1}{x} \right)’ = 1 + 4 \cdot \left( -\frac{1}{x^2} \right) = 1 — \frac{4}{x^2}$

Промежуток возрастания:
$1 — \frac{4}{x^2} \geq 0;$
$x^2 — 4 \geq 0;$
$x^2 \geq 4, \text{ отсюда } x \leq -2 \text{ или } x \geq 2;$

Выражение имеет смысл при: $x \neq 0$;
Ответ: $x = -2$ — точка максимума;
$x = 2$ — точка минимума.

б) $y = \frac{x^2 + 9}{x} = x + \frac{9}{x}$;

$y’ = (x)’ + 9 \left( \frac{1}{x} \right)’ = 1 + 9 \left( -\frac{1}{x^2} \right) = 1 — \frac{9}{x^2}$

Промежуток возрастания:
$1 — \frac{9}{x^2} \geq 0;$
$x^2 — 9 \geq 0;$
$x^2 \geq 9, \text{ отсюда } x \leq -3 \text{ или } x \geq 3;$

Выражение имеет смысл при: $x \neq 0$;
Ответ: $x = -3$ — точка максимума;
$x = 3$ — точка минимума.

а) $y = x + \frac{4}{x}$

1. Нахождение производной

Для начала вычислим первую производную функции $y$. Используем стандартные правила дифференцирования:

$$y = x + \frac{4}{x}$$

Производная от $x$ равна 1, а производная от $\frac{4}{x}$ вычисляется по правилу дифференцирования дробных выражений:

$$\frac{d}{dx}\left( \frac{4}{x} \right) = 4 \cdot \frac{d}{dx}\left( x^{-1} \right) = -4x^{-2} = -\frac{4}{x^2}$$

Таким образом, производная функции будет:

$$y’ = 1 — \frac{4}{x^2}$$

2. Нахождение промежутков возрастания и убывания

Чтобы найти промежутки возрастания и убывания функции, приравняем первую производную к нулю и решим полученное неравенство.

$$1 — \frac{4}{x^2} = 0$$

Переносим $\frac{4}{x^2}$ на правую сторону:

$$1 = \frac{4}{x^2}$$

Умножаем обе части на $x^2$:

$$x^2 = 4$$

Отсюда получаем два корня:

$$x = \pm 2$$

Значит, критические точки $x = -2$ и $x = 2$.

3. Анализ знака первой производной

Теперь определим знак первой производной в разных промежутках, чтобы выяснить, на каких из них функция возрастает, а на каких убывает.

1. Для $x > 2$ (например, для $x = 3$):

   Подставляем в первую производную:

   $$y'(3) = 1 — \frac{4}{3^2} = 1 — \frac{4}{9} = \frac{5}{9} > 0$$

   Таким образом, функция возрастает на промежутке $(2, \infty)$.

2. Для $-2 < x < 0$ (например, для $x = -1$):

   Подставляем в первую производную:

   $$y'(-1) = 1 — \frac{4}{(-1)^2} = 1 — 4 = -3 < 0$$

   Таким образом, функция убывает на промежутке $(-2, 0)$.

3. Для $x < -2$ (например, для $x = -3$):

   Подставляем в первую производную:

   $$y'(-3) = 1 — \frac{4}{(-3)^2} = 1 — \frac{4}{9} = \frac{5}{9} > 0$$

   Таким образом, функция возрастает на промежутке $(-\infty, -2)$.

4. Нахождение точек максимума и минимума

Мы знаем, что:

• На промежутке $(-\infty, -2)$ функция возрастает.
• На промежутке $(-2, 0)$ функция убывает.
• На промежутке $(2, \infty)$ функция возрастает.

Следовательно, точка $x = -2$ является точкой максимума, а точка $x = 2$ — точкой минимума.

5. Ответ:

• Точка максимума: $x = -2$
• Точка минимума: $x = 2$

б) $y = \frac{x^2 + 9}{x} = x + \frac{9}{x}$

1. Нахождение производной

Для функции $y = x + \frac{9}{x}$ производная вычисляется аналогично предыдущей задаче.

$$y = x + \frac{9}{x}$$

Производная от $x$ равна 1, а производная от $\frac{9}{x}$ — это:

$$\frac{d}{dx}\left( \frac{9}{x} \right) = 9 \cdot \frac{d}{dx}\left( x^{-1} \right) = -9x^{-2} = -\frac{9}{x^2}$$

Таким образом, производная функции будет:

$$y’ = 1 — \frac{9}{x^2}$$

2. Нахождение промежутков возрастания и убывания

Приравниваем первую производную к нулю и решим неравенство:

$$1 — \frac{9}{x^2} = 0$$

Переносим $\frac{9}{x^2}$ на правую сторону:

$$1 = \frac{9}{x^2}$$

Умножаем обе части на $x^2$:

$$x^2 = 9$$

Отсюда получаем два корня:

$$x = \pm 3$$

Значит, критические точки $x = -3$ и $x = 3$.

3. Анализ знака первой производной

Теперь снова определим знак первой производной в разных промежутках:

1. Для $x > 3$ (например, для $x = 4$):

   Подставляем в первую производную:

   $$y'(4) = 1 — \frac{9}{4^2} = 1 — \frac{9}{16} = \frac{7}{16} > 0$$

   Таким образом, функция возрастает на промежутке $(3, \infty)$.

2. Для $-3 < x < 0$ (например, для $x = -1$):

   Подставляем в первую производную:

   $$y'(-1) = 1 — \frac{9}{(-1)^2} = 1 — 9 = -8 < 0$$

   Таким образом, функция убывает на промежутке $(-3, 0)$.

3. Для $x < -3$ (например, для $x = -4$):

   Подставляем в первую производную:

   $$y'(-4) = 1 — \frac{9}{(-4)^2} = 1 — \frac{9}{16} = \frac{7}{16} > 0$$

   Таким образом, функция возрастает на промежутке $(-\infty, -3)$.

4. Нахождение точек максимума и минимума

Мы знаем, что:

• На промежутке $(-\infty, -3)$ функция возрастает.
• На промежутке $(-3, 0)$ функция убывает.
• На промежутке $(3, \infty)$ функция возрастает.

Следовательно, точка $x = -3$ является точкой максимума, а точка $x = 3$ — точкой минимума.

5. Ответ:

• Точка максимума: $x = -3$
• Точка минимума: $x = 3$

Итог:

• Для $y = x + \frac{4}{x}$ точка максимума при $x = -2$ и точка минимума при $x = 2$.
• Для $y = x + \frac{9}{x}$ точка максимума при $x = -3$ и точка минимума при $x = 3$.