ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 44.52 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Найдите точки экстремума заданной функции и определите их характер:

а) $y = x — 2\sqrt{x-2}$

б) $y = \sqrt{x+1} + \sqrt{5-x}$

в) $y = 4\sqrt{2x-1} — x$

г) $y=\sqrt{x}+2\sqrt{7-x}$

а) $y = x — 2\sqrt{x-2}$

$y’ = (x)’ — 2(\sqrt{x-2})’$;
$y’ = 1 — 2 \cdot \frac{1}{2\sqrt{x-2}} = 1 — \frac{1}{\sqrt{x-2}}$;

Промежуток возрастания:
$1 — \frac{1}{\sqrt{x-2}} \geq 0$;
$\sqrt{x-2} — 1 \geq 0$;
$x — 2 — 1 \geq 0$;
$x — 3 \geq 0$, отсюда $x \geq 3$;

Выражение имеет смысл при:
$x — 2 \geq 0$, отсюда $x \geq 2$;

Ответ: $x = 3$ — точка минимума.

б) $y = \sqrt{x+1} + \sqrt{5-x}$

$y’ = (\sqrt{x+1})’ + (\sqrt{5-x})’ = \frac{1}{2\sqrt{x+1}} — \frac{1}{2\sqrt{5-x}}$;

Промежуток возрастания:
$\frac{1}{2\sqrt{x+1}} — \frac{1}{2\sqrt{5-x}} \geq 0$;
$\frac{\sqrt{5-x} — \sqrt{x+1}}{2\sqrt{x+1} \cdot \sqrt{5-x}} \geq 0$;
$\sqrt{5-x} — \sqrt{x+1} \geq 0$;
$5 — x — (x + 1) \geq 0$;
$4 — 2x \geq 0$;
$4 \geq 2x$, отсюда $x \leq 2$;

Выражение имеет смысл при:
$x + 1 \geq 0$, отсюда $x \geq -1$;
$5 — x \geq 0$, отсюда $x \leq 5$;

Ответ: $x = 2$ — точка максимума.

в) $y = 4\sqrt{2x-1} — x$

$y’ = 4(\sqrt{2x-1})’ — (x)’$;
$y’ = 4 \cdot 2 \cdot \frac{1}{2\sqrt{2x-1}} — 1 = \frac{4}{\sqrt{2x-1}} — 1$;

Промежуток возрастания:
$\frac{4}{\sqrt{2x-1}} — 1 \geq 0$;
$4 — \sqrt{2x-1} \geq 0$;
$16 — (2x — 1) \geq 0$;
$17 — 2x \geq 0$;
$17 \geq 2x$, отсюда $x \leq 8,5$;

Выражение имеет смысл при:
$2x — 1 \geq 0$;
$2x \geq 1$, отсюда $x \geq 0,5$;

Ответ: $x = 8,5$ — точка максимума.

г) $y = \sqrt{x} + 2\sqrt{7-x}$

$y’ = (\sqrt{x})’ + 2(\sqrt{7-x})’$;
$y’ = \frac{1}{2\sqrt{x}} + 2 \cdot (-1) \cdot \frac{1}{2\sqrt{7-x}} = \frac{1}{2\sqrt{x}} — \frac{1}{\sqrt{7-x}}$;

Промежуток возрастания:
$\frac{1}{2\sqrt{x}} — \frac{1}{\sqrt{7-x}} \geq 0$;
$\frac{\sqrt{7-x} — 2\sqrt{x}}{2\sqrt{x} \cdot \sqrt{7-x}} \geq 0$;
$\sqrt{7-x} — 2\sqrt{x} \geq 0$;
$7 — x — 4x \geq 0$;
$7 — 5x \geq 0$;
$7 \geq 5x$, отсюда $x \leq 1,4$;

Выражение имеет смысл при:
$x \geq 0$;
$7 — x \geq 0$, отсюда $x \leq 7$;

Ответ: $x = 1,4$ — точка максимума.

а) $y = x — 2\sqrt{x-2}$

Нахождение производной:

$$y’ = \frac{d}{dx}(x) — 2 \cdot \frac{d}{dx}(\sqrt{x-2})$$

Для первой части производной:

$$\frac{d}{dx}(x) = 1$$

Для второй части применяем правило дифференцирования корня:

$$\frac{d}{dx}(\sqrt{x-2}) = \frac{1}{2\sqrt{x-2}}$$

Таким образом, производная:

$$y’ = 1 — 2 \cdot \frac{1}{2\sqrt{x-2}} = 1 — \frac{1}{\sqrt{x-2}}$$

Нахождение промежутка возрастания:

Чтобы найти промежуток возрастания, нужно решить неравенство $y’ \geq 0$:

$$1 — \frac{1}{\sqrt{x-2}} \geq 0$$

Переносим $\frac{1}{\sqrt{x-2}}$ на правую сторону:

$$\sqrt{x-2} \geq 1$$

Возводим обе части неравенства в квадрат:

$$x — 2 \geq 1$$

Получаем:

$$x \geq 3$$

То есть, функция возрастает на промежутке $[3, \infty)$.

Нахождение области определения:

Чтобы выражение $\sqrt{x-2}$ имело смысл, необходимо, чтобы подкоренное выражение было неотрицательным:

$$x — 2 \geq 0$$

Отсюда:

$$x \geq 2$$

Ответ:
Точка минимума: $x = 3$ (точка перехода от убывания к возрастанию).

б) $y = \sqrt{x+1} + \sqrt{5-x}$

Нахождение производной:
Используем правило дифференцирования корней:

$$y’ = \frac{d}{dx}(\sqrt{x+1}) + \frac{d}{dx}(\sqrt{5-x})$$

Первая часть:

$$\frac{d}{dx}(\sqrt{x+1}) = \frac{1}{2\sqrt{x+1}}$$

Вторая часть:

$$\frac{d}{dx}(\sqrt{5-x}) = -\frac{1}{2\sqrt{5-x}}$$

Таким образом:

$$y’ = \frac{1}{2\sqrt{x+1}} — \frac{1}{2\sqrt{5-x}}$$

Нахождение промежутка возрастания:

Решаем неравенство $y’ \geq 0$:

$$\frac{1}{2\sqrt{x+1}} — \frac{1}{2\sqrt{5-x}} \geq 0$$

Умножаем обе части на $2\sqrt{x+1}\sqrt{5-x}$ (оно положительно):

$$\sqrt{5-x} — \sqrt{x+1} \geq 0$$

Преобразуем неравенство:

$$5 — x — (x + 1) \geq 0$$ $$4 — 2x \geq 0$$ $$x \leq 2$$

Таким образом, функция возрастает на промежутке $(-1, 2]$.

Нахождение области определения:

Для того чтобы выражения $\sqrt{x+1}$ и $\sqrt{5-x}$ имели смысл, необходимо:

$$x + 1 \geq 0 \quad \text{и} \quad 5 — x \geq 0$$

Из первого:

$$x \geq -1$$

Из второго:

$$x \leq 5$$

Таким образом, область определения: $-1 \leq x \leq 5$.

Ответ:
Точка максимума: $x = 2$ (точка перехода от возрастания к убыванию).

в) $y = 4\sqrt{2x-1} — x$

Нахождение производной:
Для первой части:

$$\frac{d}{dx}(4\sqrt{2x-1}) = 4 \cdot 2 \cdot \frac{1}{2\sqrt{2x-1}} = \frac{4}{\sqrt{2x-1}}$$

Для второй части:

$$\frac{d}{dx}(-x) = -1$$

Таким образом, производная:

$$y’ = \frac{4}{\sqrt{2x-1}} — 1$$

Нахождение промежутка возрастания:

Решаем неравенство $y’ \geq 0$:

$$\frac{4}{\sqrt{2x-1}} — 1 \geq 0$$

Переносим 1 на правую сторону:

$$\frac{4}{\sqrt{2x-1}} \geq 1$$

Умножаем обе части на $\sqrt{2x-1}$ (оно положительно):

$$4 \geq \sqrt{2x-1}$$

Возводим обе части в квадрат:

$$16 \geq 2x — 1$$ $$17 \geq 2x$$ $$x \leq 8.5$$

Таким образом, функция возрастает на промежутке $[0.5, 8.5]$.

Нахождение области определения:

Чтобы выражение $\sqrt{2x-1}$ имело смысл, нужно, чтобы подкоренное выражение было неотрицательным:

$$2x — 1 \geq 0$$

Отсюда:

$$x \geq 0.5$$

Таким образом, область определения: $x \geq 0.5$.

Ответ:
Точка максимума: $x = 8.5$ (точка перехода от возрастания к убыванию).

г) $y = \sqrt{x} + 2\sqrt{7-x}$

Нахождение производной:
Для первой части:

$$\frac{d}{dx}(\sqrt{x}) = \frac{1}{2\sqrt{x}}$$

Для второй части:

$$\frac{d}{dx}(2\sqrt{7-x}) = 2 \cdot (-1) \cdot \frac{1}{2\sqrt{7-x}} = -\frac{1}{\sqrt{7-x}}$$

Таким образом, производная:

$$y’ = \frac{1}{2\sqrt{x}} — \frac{1}{\sqrt{7-x}}$$

Нахождение промежутка возрастания:

Решаем неравенство $y’ \geq 0$:

$$\frac{1}{2\sqrt{x}} — \frac{1}{\sqrt{7-x}} \geq 0$$

Умножаем обе части на $2\sqrt{x}\sqrt{7-x}$ (оно положительно):

$$\sqrt{7-x} — 2\sqrt{x} \geq 0$$

Преобразуем неравенство:

$$7 — x — 4x \geq 0$$ $$7 — 5x \geq 0$$ $$x \leq 1.4$$

Таким образом, функция возрастает на промежутке $[0, 1.4]$.

Нахождение области определения:

Для того чтобы выражения $\sqrt{x}$ и $\sqrt{7-x}$ имели смысл, необходимо:

$$x \geq 0 \quad \text{и} \quad 7 — x \geq 0$$

Из первого:

$$x \geq 0$$

Из второго:

$$x \leq 7$$

Таким образом, область определения: $0 \leq x \leq 7$.

Ответ:
Точка максимума: $x = 1.4$ (точка перехода от возрастания к убыванию).