ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 44.53 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Найдите точки экстремума заданной функции и определите их характер:

а) $y = x — 2 \cos x$ и $x \in [-\pi; \pi]$;

б) $y = 2 \sin x — x$ и $x \in [\pi; 3\pi]$

а) $y = x — 2 \cos x$ и $x \in [-\pi; \pi]$;

$y’ = (x)’ — 2 (\cos x)’ = 1 + 2 \sin x$;

Промежуток убывания:
$1 + 2 \sin x \leq 0;$
$2 \sin x \leq -1;$
$\sin x \leq -\frac{1}{2};$
$-\frac{5\pi}{6} + 2\pi n \leq x \leq -\frac{\pi}{6} + 2\pi n;$

В заданном промежутке:
$-\frac{5\pi}{6} \leq x \leq -\frac{\pi}{6};$

Ответ: $x = -\frac{5\pi}{6}$ — точка максимума;
$x = -\frac{\pi}{6}$ — точка минимума.

б) $y = 2 \sin x — x$ и $x \in [\pi; 3\pi]$;

$y’ = 2 (\sin x)’ — (x)’ = 2 \cos x — 1;$

Промежуток возрастания:
$2 \cos x \geq 1;$
$\cos x \geq \frac{1}{2};$
$-\frac{\pi}{3} + 2\pi n \leq x \leq \frac{\pi}{3} + 2\pi n;$

В заданном промежутке:
$-\frac{\pi}{3} + 2\pi \leq x \leq \frac{\pi}{3} + 2\pi;$
$\frac{5\pi}{3} \leq x \leq \frac{7\pi}{3};$

Ответ: $x = \frac{7\pi}{3}$ — точка максимума;
$x = \frac{5\pi}{3}$ — точка минимума.

а) $y = x — 2 \cos x$ и $x \in [-\pi; \pi]$

Шаг 1: Находим производную функции

Нам нужно найти первую производную функции $y = x — 2 \cos x$.

Используем правила дифференцирования:

• Производная от $x$ равна 1.
• Производная от $-2 \cos x$ — это $2 \sin x$, так как производная от $\cos x$ равна $-\sin x$.

Таким образом, производная функции $y’$ будет:

$$y’ = (x)’ — 2 (\cos x)’ = 1 + 2 \sin x.$$

Шаг 2: Находим промежутки возрастания и убывания

Чтобы определить, на каких промежутках функция возрастает или убывает, нужно найти такие $x$, при которых производная $y’$ либо положительна, либо отрицательна.

Промежутки убывания (когда $y’ \leq 0$):

Найдем, при каких значениях $x$ производная будет меньше или равна нулю:

$$y’ = 1 + 2 \sin x \leq 0.$$

Переносим единицу на другую сторону:

$$2 \sin x \leq -1.$$

Делим обе стороны неравенства на 2:

$$\sin x \leq -\frac{1}{2}.$$

Теперь, чтобы найти, при каких значениях $x$ выполняется это неравенство, нужно вспомнить, что $\sin x = -\frac{1}{2}$ при $x = -\frac{\pi}{6} + 2k\pi$ и $x = -\frac{5\pi}{6} + 2k\pi$, где $k$ — целое число.

Мы ищем решения на интервале $x \in [-\pi; \pi]$.

На этом интервале $\sin x \leq -\frac{1}{2}$ выполняется, когда:

$$-\frac{5\pi}{6} \leq x \leq -\frac{\pi}{6}.$$

Таким образом, функция $y = x — 2 \cos x$ убывает на интервале $x \in \left[-\frac{5\pi}{6}, -\frac{\pi}{6}\right]$.

Промежутки возрастания (когда $y’ > 0$):

Это происходит, когда $1 + 2 \sin x > 0$, то есть:

$$2 \sin x > -1.$$

Разделим обе стороны неравенства на 2:

$$\sin x > -\frac{1}{2}.$$

$\sin x$ больше $-\frac{1}{2}$ на остальных промежутках $x \in [-\pi; \pi]$, исключая интервал $\left[-\frac{5\pi}{6}, -\frac{\pi}{6}\right]$.

Таким образом, функция возрастает на интервалах:

$$x \in [-\pi, -\frac{5\pi}{6}) \cup (-\frac{\pi}{6}, \pi].$$

Шаг 3: Определение точек экстремума

Для нахождения точек экстремума, нужно определить значения $x$, при которых производная равна нулю.

Решим уравнение:

$$1 + 2 \sin x = 0.$$

Из этого получаем:

$$2 \sin x = -1 \quad \Rightarrow \quad \sin x = -\frac{1}{2}.$$

Решения этого уравнения на интервале $x \in [-\pi; \pi]$ — это:

$$x = -\frac{5\pi}{6} \quad \text{и} \quad x = -\frac{\pi}{6}.$$

• В точке $x = -\frac{5\pi}{6}$ производная меняет знак с отрицательного на положительный, поэтому это точка максимума.
• В точке $x = -\frac{\pi}{6}$ производная меняет знак с положительного на отрицательный, поэтому это точка минимума.

Ответ:

• $x = -\frac{5\pi}{6}$ — точка максимума.
• $x = -\frac{\pi}{6}$ — точка минимума.

б) $y = 2 \sin x — x$ и $x \in [\pi; 3\pi]$

Шаг 1: Находим производную функции

Нам нужно найти первую производную функции $y = 2 \sin x — x$.

Используем правила дифференцирования:

• Производная от $2 \sin x$ равна $2 \cos x$.
• Производная от $-x$ равна $-1$.

Таким образом, производная функции $y’$ будет:

$$y’ = 2 (\sin x)’ — (x)’ = 2 \cos x — 1.$$

Шаг 2: Находим промежутки возрастания и убывания

Чтобы определить, на каких промежутках функция возрастает или убывает, нужно найти такие $x$, при которых производная $y’$ либо положительна, либо отрицательна.

Промежутки возрастания (когда $y’ > 0$):

Найдем, при каких значениях $x$ производная будет больше нуля:

$$y’ = 2 \cos x — 1 > 0.$$

Переносим $-1$ на правую сторону:

$$2 \cos x > 1.$$

Делим обе стороны на 2:

$$\cos x > \frac{1}{2}.$$

Теперь, чтобы найти, при каких значениях $x$ выполняется это неравенство, нужно вспомнить, что $\cos x = \frac{1}{2}$ при $x = \pm \frac{\pi}{3} + 2k\pi$, где $k$ — целое число.

Мы ищем решения на интервале $x \in [\pi; 3\pi]$.

$\cos x > \frac{1}{2}$ на промежутке:

$$x \in \left[\frac{5\pi}{3}, \frac{7\pi}{3}\right].$$

Таким образом, функция $y = 2 \sin x — x$ возрастает на интервале $x \in \left[\frac{5\pi}{3}, \frac{7\pi}{3}\right]$.

Промежутки убывания (когда $y’ < 0$):

Это происходит, когда $2 \cos x — 1 < 0$, то есть:

$$\cos x < \frac{1}{2}.$$

$\cos x$ меньше $\frac{1}{2}$ на интервале:

$$x \in \left[\pi, \frac{5\pi}{3}\right).$$

Таким образом, функция убывает на интервале $x \in \left[\pi, \frac{5\pi}{3}\right)$.

Шаг 3: Определение точек экстремума

Для нахождения точек экстремума, нужно определить значения $x$, при которых производная равна нулю.

Решим уравнение:

$$2 \cos x — 1 = 0.$$

Из этого получаем:

$$\cos x = \frac{1}{2}.$$

Решения этого уравнения на интервале $x \in [\pi; 3\pi]$ — это:

$$x = \frac{5\pi}{3} \quad \text{и} \quad x = \frac{7\pi}{3}.$$

• В точке $x = \frac{5\pi}{3}$ производная меняет знак с отрицательного на положительный, поэтому это точка минимума.
• В точке $x = \frac{7\pi}{3}$ производная меняет знак с положительного на отрицательный, поэтому это точка максимума.

Ответ:

• $x = \frac{7\pi}{3}$ — точка максимума.
• $x = \frac{5\pi}{3}$ — точка минимума.