ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 44.54 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Найдите точки экстремума заданной функции и определите их характер:

а) $y = (x^3 — 27x)^3$;

б) $y = \sqrt{x^3 — 27x}$;

в) $y = (x^3 — 3x^2)^4$;

г) $y = \sqrt{x^3 — 3x^2}$

а) $y = (x^3 — 27x)^3$;

Пусть $u = x^3 — 27x$, тогда $y = u^3$;

$$y’ = (u^3)’ \cdot (x^3 — 27x)’$$ $$y’ = 3u^2 \cdot (3x^2 — 27) = 3(x^3 — 27x)^2(3x^2 — 27)$$

Промежуток возрастания:

$$3(x^3 — 27x)^2(3x^2 — 27) \geq 0$$ $$3x^2 — 27 \geq 0$$ $$x^2 — 9 \geq 0$$ $$x \geq 3, \text{ отсюда } x \leq -3 \text{ или } x \geq 3$$

Ответ: $x = -3$ — точка максимума;
$x = 3$ — точка минимума.

б) $y = \sqrt{x^3 — 27x}$;

Пусть $u = x^3 — 27x$, тогда $y = \sqrt{u}$;

$$y’ = (\sqrt{u})’ \cdot (x^3 — 27x)’$$ $$y’ = \frac{1}{2\sqrt{u}} \cdot (3x^2 — 27) = \frac{3x^2 — 27}{2\sqrt{x^3 — 27x}}$$

Промежуток возрастания:

$$\frac{3x^2 — 27}{2\sqrt{x^3 — 27x}} \geq 0$$ $$3x^2 — 27 \geq 0$$ $$x^2 — 9 \geq 0$$ $$x^2 \geq 3, \text{ отсюда } x \leq -3 \text{ или } x \geq 3$$

Выражение имеет смысл при:

$$x^3 — 27x \geq 0$$ $$x(x^2 — 27) \geq 0$$ $$x(x — \sqrt{27})(x + \sqrt{27}) \geq 0$$ $$(x + 3\sqrt{3}) \cdot x \cdot (x — 3\sqrt{3}) \geq 0$$ $$-3\sqrt{3} \leq x \leq 0 \text{ и } x \geq 3\sqrt{3}$$

Ответ: $x = -3$ — точка максимума;

в) $y = (x^3 — 3x^2)^4$;

Пусть $u = x^3 — 3x^2$, тогда $y = u^4$;

$$y’ = (u^4)’ \cdot (x^3 — 3x^2)’$$ $$y’ = 4u^3 \cdot (3x^2 — 6x) = 4(x^3 — 3x^2)^3(3x^2 — 6x)$$

Промежуток возрастания:

$$4(x^3 — 3x^2)^3(3x^2 — 6x) \geq 0$$ $$x^2(x — 3) \cdot 3x(x — 2) \geq 0$$ $$x^3(x — 2)(x — 3) \geq 0$$ $$0 \leq x \leq 2 \text{ или } x \geq 3$$

Ответ: $x = 2$ — точка максимума;
$x = 2$ и $x = 3$ — точки минимума.

г) $y = \sqrt{x^3 — 3x^2}$;

Пусть $u = x^3 — 3x^2$, тогда $y = \sqrt{u}$;

$$y’ = (\sqrt{u})’ \cdot (x^3 — 3x^2)’$$ $$y’ = \frac{1}{2\sqrt{u}} \cdot (3x^2 — 6x) = \frac{3x^2 — 6x}{2\sqrt{x^3 — 3x^2}}$$

Промежуток возрастания:

$$3x^2 — 6x \geq 0$$ $$3x(x — 2) \geq 0, \text{ отсюда } x \leq 0 \text{ или } x \geq 2$$

Выражение имеет смысл при:

$$x^3 — 3x^2 \geq 0$$ $$x^2(x — 3) \geq 0$$ $$x — 3 \geq 0, \text{ отсюда } x \geq 3$$

Ответ: нет таких точек.

а) $y = (x^3 — 27x)^3$

1) Выражаем производную через замену переменной

Для начала введем промежуточную переменную $u = x^3 — 27x$. Тогда $y = u^3$, и нам нужно найти производную $y’$ относительно $x$.

$$y’ = \frac{d}{dx} (u^3) = 3u^2 \cdot \frac{du}{dx}$$

Теперь вычислим $\frac{du}{dx}$, где $u = x^3 — 27x$. Найдем его производную:

$$\frac{du}{dx} = \frac{d}{dx}(x^3 — 27x) = 3x^2 — 27$$

Таким образом, $y’$ можно выразить как:

$$y’ = 3u^2 \cdot (3x^2 — 27) = 3(x^3 — 27x)^2 \cdot (3x^2 — 27)$$

2) Найдем промежуток возрастания функции

Чтобы найти промежуток возрастания функции, нам нужно решить неравенство:

$$y’ \geq 0$$

То есть:

$$3(x^3 — 27x)^2(3x^2 — 27) \geq 0$$

Заметим, что $(x^3 — 27x)^2 \geq 0$ всегда, поскольку это квадрат. Поэтому знак производной зависит только от знака выражения $3x^2 — 27$:

$$3x^2 — 27 \geq 0$$

Разделим на 3:

$$x^2 — 9 \geq 0$$

Теперь решим неравенство $x^2 — 9 \geq 0$, которое можно записать как $(x — 3)(x + 3) \geq 0$. Из этого неравенства видно, что оно выполняется при $x \leq -3$ или $x \geq 3$.

Ответ:

• $x = -3$ — точка максимума,
• $x = 3$ — точка минимума.

б) $y = \sqrt{x^3 — 27x}$

1) Применяем замену переменной

Снова введем промежуточную переменную:

$$u = x^3 — 27x$$

Тогда $y = \sqrt{u}$, и нужно найти производную:

$$y’ = \frac{d}{dx} \left( \sqrt{u} \right) = \frac{1}{2\sqrt{u}} \cdot \frac{du}{dx}$$

Теперь вычислим производную $\frac{du}{dx}$ для $u = x^3 — 27x$:

$$\frac{du}{dx} = 3x^2 — 27$$

Таким образом, производная $y’$ будет:

$$y’ = \frac{1}{2\sqrt{u}} \cdot (3x^2 — 27) = \frac{3x^2 — 27}{2\sqrt{x^3 — 27x}}$$

2) Промежуток возрастания функции

Найдем, где $y’ \geq 0$. Необходимо решить неравенство:

$$\frac{3x^2 — 27}{2\sqrt{x^3 — 27x}} \geq 0$$

Так как знаменатель $2\sqrt{x^3 — 27x}$ всегда положителен при $x^3 — 27x \geq 0$, неравенство зависит от числителя $3x^2 — 27$:

$$3x^2 — 27 \geq 0$$

Разделим на 3:

$$x^2 — 9 \geq 0$$

Решаем неравенство $(x — 3)(x + 3) \geq 0$, которое выполняется при $x \leq -3$ или $x \geq 3$.

3) Выражение имеет смысл при $x^3 — 27x \geq 0$

Чтобы функция $y = \sqrt{x^3 — 27x}$ имела смысл, подкоренное выражение должно быть неотрицательным:

$$x^3 — 27x \geq 0$$

Вынесем $x$ за скобки:

$$x(x^2 — 27) \geq 0$$

Теперь решим это неравенство:

$$x(x — \sqrt{27})(x + \sqrt{27}) \geq 0$$

Неравенство будет выполнено при:

$$-3\sqrt{3} \leq x \leq 0 \quad \text{и} \quad x \geq 3\sqrt{3}$$

Ответ: $x = -3$ — точка максимума.

в) $y = (x^3 — 3x^2)^4$

1) Применяем замену переменной

Введем промежуточную переменную:

$$u = x^3 — 3x^2$$

Тогда $y = u^4$, и производная будет:

$$y’ = 4u^3 \cdot \frac{du}{dx}$$

Теперь вычислим $\frac{du}{dx}$ для $u = x^3 — 3x^2$:

$$\frac{du}{dx} = 3x^2 — 6x$$

Таким образом, производная $y’$ будет:

$$y’ = 4(x^3 — 3x^2)^3 \cdot (3x^2 — 6x)$$

2) Промежуток возрастания функции

Чтобы найти промежуток возрастания, решим неравенство $y’ \geq 0$:

$$4(x^3 — 3x^2)^3(3x^2 — 6x) \geq 0$$

Так как выражение $(x^3 — 3x^2)^3$ всегда неотрицательно (это куб), анализируем только знак выражения $3x^2 — 6x$:

$$3x(x — 2) \geq 0$$

Решаем это неравенство:

$$x \leq 0 \quad \text{или} \quad x \geq 2$$

3) Знак выражения зависит от $x^3(x — 2)(x — 3)$

Теперь решаем неравенство:

$$x^3(x — 2)(x — 3) \geq 0$$

Решение этого неравенства:

$$0 \leq x \leq 2 \quad \text{или} \quad x \geq 3$$

Ответ: $x = 2$ — точка максимума;
$x = 2$ и $x = 3$ — точки минимума.

г) $y = \sqrt{x^3 — 3x^2}$

1) Применяем замену переменной

Введем промежуточную переменную:

$$u = x^3 — 3x^2$$

Тогда $y = \sqrt{u}$, и производная будет:

$$y’ = \frac{1}{2\sqrt{u}} \cdot \frac{du}{dx}$$

Теперь вычислим $\frac{du}{dx}$ для $u = x^3 — 3x^2$:

$$\frac{du}{dx} = 3x^2 — 6x$$

Таким образом, производная $y’$ будет:

$$y’ = \frac{3x^2 — 6x}{2\sqrt{x^3 — 3x^2}}$$

2) Промежуток возрастания функции

Для того чтобы функция возрастала, нужно, чтобы $y’ \geq 0$:

$$3x^2 — 6x \geq 0$$

Решим неравенство:

$$3x(x — 2) \geq 0$$

Это неравенство выполняется при $x \leq 0$ или $x \geq 2$.

3) Выражение имеет смысл при $x^3 — 3x^2 \geq 0$

Для того чтобы подкоренное выражение было неотрицательным, нужно, чтобы:

$$x^3 — 3x^2 \geq 0$$

Вынесем $x^2$:

$$x^2(x — 3) \geq 0$$

Это неравенство выполняется при $x \geq 3$.

Ответ: Нет таких точек, так как промежутки, где выражение имеет смысл, и где производная положительна, не пересекаются.