ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 44.55 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Найдите точки экстремума заданной функции и определите их характер:

а) $y = \arcsin x^2$;

б) $y = 3 \operatorname{arcctg} \sqrt{x}$;

в) $y = \arccos x^2$;

г) $y = \operatorname{arctg} \sqrt{2x}$

Область определения обратных тригонометрических функций:

$D(x) = [-1; 1]$ для $\cos a$ и $\sin a$;

$D(x) = (-\infty; +\infty)$ для $\operatorname{tg} a$ и $\operatorname{ctg} a$;

а) $y = \arcsin x^2$;

Пусть $u = x^2$, тогда $y = \arcsin u$;

$$y’ = (\arcsin u)’ \cdot (x^2)’ = \frac{1}{\sqrt{1 — u^2}} \cdot 2x = \frac{2x}{\sqrt{1 — x^4}};$$

Промежуток возрастания:

$$\frac{2x}{\sqrt{1 — x^4}} \geq 0;$$ $$2x \geq 0, \text{ отсюда } x \geq 0;$$

Выражение имеет смысл при:

$$-1 \leq x^2 \leq 1;$$ $$-1 \leq x \leq 1;$$

Ответ: $x = 0$ — точка минимума.

б) $y = 3 \operatorname{arcctg} \sqrt{x}$;

Пусть $u = \sqrt{x}$, тогда $y = 3 \operatorname{arcctg} u$;

$$y’ = 3 (\operatorname{arcctg} u)’ \cdot (\sqrt{x})’;$$ $$y’ = 3 \left( -\frac{1}{1 + u^2} \right) \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}} = -\frac{3}{2(1 + x) \cdot \sqrt{x}};$$

Промежуток возрастания:

$$-\frac{3}{2(1 + x) \cdot \sqrt{x}} \geq 0;$$ $$-(1 + x) \geq 0;$$ $$1 + x \leq 0, \text{ отсюда } x \leq -1;$$

Выражение имеет смысл при:

$$x \geq 0;$$

Ответ: нет таких точек.

в) $y = \arccos x^2$;

Пусть $u = x^2$, тогда $y = \arccos u$;

$$y’ = (\arccos u)’ \cdot (x^2)’ = -\frac{1}{\sqrt{1 — u^2}} \cdot 2x = -\frac{2x}{\sqrt{1 — x^4}};$$

Промежуток возрастания:

$$-\frac{2x}{\sqrt{1 — x^4}} \geq 0;$$ $$-2x \geq 0, \text{ отсюда } x \leq 0;$$

Выражение имеет смысл при:

$$-1 \leq x^2 \leq 1;$$ $$-1 \leq x \leq 1;$$

Ответ: $x = 0$ — точка максимума.

г) $y = \operatorname{arctg} \sqrt{2x}$;

Пусть $u = \sqrt{2x}$, тогда $y = \operatorname{arctg} u$;

$$y’ = (\operatorname{arctg} u)’ \cdot (\sqrt{2x})’;$$ $$y’ = \frac{1}{1 + u^2} \cdot 2 \cdot \frac{1}{2\sqrt{2x}} = \frac{1}{(1 + x) \cdot \sqrt{2x}};$$

Промежуток возрастания:

$$\frac{1}{(1 + x) \cdot \sqrt{2x}} \geq 0;$$ $$1 + x \geq 0, \text{ отсюда } x \geq -1;$$

Выражение имеет смысл при:

$$2x \geq 0, \text{ отсюда } x \geq 0;$$

Ответ: нет таких точек.

а) $y = \arcsin x^2$

1) Вычисление производной:

Для нахождения производной функции $y = \arcsin x^2$ используем цепное правило. Для этого вводим промежуточную переменную:

$$u = x^2$$

Тогда функция будет выглядеть как $y = \arcsin u$, и мы можем найти производную $y’$ относительно $u$, а затем умножить на производную $u$ по $x$.

• Производная функции $y = \arcsin u$ по $u$ известна и равна:

$$\frac{d}{du} (\arcsin u) = \frac{1}{\sqrt{1 — u^2}}$$

Теперь находим производную $u = x^2$ по $x$:

$$\frac{du}{dx} = \frac{d}{dx} (x^2) = 2x$$

Таким образом, производная функции $y = \arcsin x^2$ по $x$ будет:

$$y’ = \frac{1}{\sqrt{1 — u^2}} \cdot \frac{du}{dx} = \frac{1}{\sqrt{1 — (x^2)^2}} \cdot 2x = \frac{2x}{\sqrt{1 — x^4}}$$

2) Промежуток возрастания:

Чтобы найти промежуток возрастания функции $y$, необходимо, чтобы производная $y’$ была положительной:

$$\frac{2x}{\sqrt{1 — x^4}} \geq 0$$

Так как знаменатель $\sqrt{1 — x^4}$ всегда положителен при $-1 \leq x \leq 1$, знак производной зависит только от числителя $2x$. Чтобы производная была положительной, числитель должен быть неотрицателен, то есть:

$$2x \geq 0 \quad \Rightarrow \quad x \geq 0$$

Таким образом, функция возрастает при $x \geq 0$.

3) Выражение имеет смысл при:

Для того чтобы выражение $\arcsin x^2$ имело смысл, аргумент $x^2$ должен лежать в интервале от $-1$ до $1$, так как область определения функции $\arcsin$ — это $[-1; 1]$:

$$-1 \leq x^2 \leq 1$$

Поскольку $x^2$ всегда неотрицательно, получаем:

$$0 \leq x \leq 1$$

Таким образом, выражение имеет смысл при $-1 \leq x \leq 1$.

Ответ:

• $x = 0$ — точка минимума.

б) $y = 3 \operatorname{arcctg} \sqrt{x}$

1) Вычисление производной:

Для нахождения производной функции $y = 3 \operatorname{arcctg} \sqrt{x}$ также используем цепное правило. Пусть $u = \sqrt{x}$. Тогда $y = 3 \operatorname{arcctg} u$, и для нахождения производной $y’$ по $x$ нам нужно применить цепное правило:

• Производная функции $\operatorname{arcctg} u$ по $u$ известна и равна:

$$\frac{d}{du} (\operatorname{arcctg} u) = -\frac{1}{1 + u^2}$$

Теперь находим производную $u = \sqrt{x}$ по $x$:

$$\frac{du}{dx} = \frac{d}{dx} (\sqrt{x}) = \frac{1}{2\sqrt{x}}$$

Таким образом, производная функции $y = 3 \operatorname{arcctg} \sqrt{x}$ будет:

$$y’ = 3 \cdot \left( -\frac{1}{1 + u^2} \right) \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}} = -\frac{3}{2(1 + x) \cdot \sqrt{x}}$$

2) Промежуток возрастания:

Чтобы найти промежуток возрастания функции $y$, необходимо, чтобы производная $y’$ была положительной:

$$-\frac{3}{2(1 + x) \cdot \sqrt{x}} \geq 0$$

Поскольку знаменатель всегда положителен при $x > 0$, знак производной зависит от числителя. Так как числитель отрицателен, производная всегда отрицательна для $x > 0$. Следовательно, функция убывает на всей своей области определения.

3) Выражение имеет смысл при:

Для того чтобы выражение $\operatorname{arcctg} \sqrt{x}$ имело смысл, аргумент $\sqrt{x}$ должен быть определен, то есть $x \geq 0$.

Ответ:

• Так как функция убывает для всех значений $x \geq 0$, а $x \geq 0$ — область определения функции, нет точек возрастания.

в) $y = \arccos x^2$

1) Вычисление производной:

Для нахождения производной функции $y = \arccos x^2$ используем цепное правило. Пусть $u = x^2$. Тогда функция $y = \arccos u$, и для нахождения производной $y’$ по $x$ необходимо:

• Производная функции $y = \arccos u$ по $u$ равна:

$$\frac{d}{du} (\arccos u) = -\frac{1}{\sqrt{1 — u^2}}$$

Теперь находим производную $u = x^2$ по $x$:

$$\frac{du}{dx} = \frac{d}{dx} (x^2) = 2x$$

Таким образом, производная функции $y = \arccos x^2$ будет:

$$y’ = -\frac{1}{\sqrt{1 — u^2}} \cdot \frac{du}{dx} = -\frac{1}{\sqrt{1 — (x^2)^2}} \cdot 2x = -\frac{2x}{\sqrt{1 — x^4}}$$

2) Промежуток возрастания:

Чтобы найти промежуток возрастания функции $y$, необходимо, чтобы производная $y’$ была положительной:

$$-\frac{2x}{\sqrt{1 — x^4}} \geq 0$$

Знак производной зависит от числителя $-2x$. Чтобы производная была положительной, числитель должен быть неотрицателен, то есть:

$$-2x \geq 0 \quad \Rightarrow \quad x \leq 0$$

Таким образом, функция возрастает при $x \leq 0$.

3) Выражение имеет смысл при:

Для того чтобы выражение $\arccos x^2$ имело смысл, аргумент $x^2$ должен лежать в интервале от $-1$ до $1$:

$$-1 \leq x^2 \leq 1$$

Так как $x^2$ всегда неотрицательно, получаем:

$$-1 \leq x \leq 1$$

Ответ:

• $x = 0$ — точка максимума.

г) $y = \operatorname{arctg} \sqrt{2x}$

1) Вычисление производной:

Для нахождения производной функции $y = \operatorname{arctg} \sqrt{2x}$ используем цепное правило. Пусть $u = \sqrt{2x}$. Тогда $y = \operatorname{arctg} u$, и для нахождения производной $y’$ по $x$ необходимо:

• Производная функции $\operatorname{arctg} u$ по $u$ равна:

$$\frac{d}{du} (\operatorname{arctg} u) = \frac{1}{1 + u^2}$$

Теперь находим производную $u = \sqrt{2x}$ по $x$:

$$\frac{du}{dx} = \frac{d}{dx} (\sqrt{2x}) = \frac{1}{\sqrt{2x}} \cdot 2$$

Таким образом, производная функции $y = \operatorname{arctg} \sqrt{2x}$ будет:

$$y’ = \frac{1}{1 + u^2} \cdot \frac{2}{2\sqrt{2x}} = \frac{1}{(1 + x) \cdot \sqrt{2x}}$$

2) Промежуток возрастания:

Чтобы найти промежуток возрастания функции $y$, необходимо, чтобы производная $y’$ была положительной:

$$\frac{1}{(1 + x) \cdot \sqrt{2x}} \geq 0$$

Поскольку знаменатель всегда положителен при $x > 0$, производная всегда положительна для $x > 0$. Следовательно, функция возрастает на интервале $x > 0$.

3) Выражение имеет смысл при:

Для того чтобы выражение $\operatorname{arctg} \sqrt{2x}$ имело смысл, аргумент $\sqrt{2x}$ должен быть определен, то есть $2x \geq 0$, или $x \geq 0$.

Ответ:

• Нет точек, где функция возрастает на интервале $x \geq 0$, так как для $x > 0$ она будет возрастать, но на интервале от 0 до положительных значений.