ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 44.56 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Докажите, что заданная функция не имеет ни точек максимума, ни точек минимума:

а) $y = \frac{1}{3}x^3 + 2x^2 + 5x — 12$;

б) $y = -\frac{1}{3}x^3 + \frac{3}{2}x^2 — 3x + 9$;

в) $y = \frac{1}{5}x^5 + \frac{1}{3}x^3 + x — 7$;

г) $y = -x^3 — x^5 + 27$

Функция не имеет точек экстремума, если ее производная не пересекает ось абсцисс, но при этом существует во всех точках;

а) $y = \frac{1}{3}x^3 + 2x^2 + 5x — 12$;

$y’ = \frac{1}{3}(x^3)’ + 2(x^2)’ + (5x — 12)’$;

$$y’ = \frac{1}{3} \cdot 3x^2 + 2 \cdot 2x + 5 = x^2 + 4x + 5;$$

$x^2 + 4x + 5 = 0$;

$$D = 4^2 — 4 \cdot 5 = 16 — 20 = -4;$$

$D < 0$, значит корней нет;

б) $y = -\frac{1}{3}x^3 + \frac{3}{2}x^2 — 3x + 9$;

$y’ = -\frac{1}{3}(x^3)’ + \frac{3}{2}(x^2)’ — (3x — 9)’$;

$$y’ = -\frac{1}{3} \cdot 3x^2 + \frac{3}{2} \cdot 2x — 3 = -x^2 + 3x — 3;$$

$-x^2 + 3x — 3 = 0$;

$$D = 3^2 — 4 \cdot 3 = 9 — 12 = -3;$$

$D < 0$, значит корней нет;

в) $y = \frac{1}{5}x^5 + \frac{1}{3}x^3 + x — 7$;

$y’ = \frac{1}{5}(x^5)’ + \frac{1}{3}(x^3)’ + (x — 7)’$;

$$y’ = \frac{1}{5} \cdot 5x^4 + \frac{1}{3} \cdot 3x^2 + 1 = x^4 + x^2 + 1;$$

$x^4 \geq 0$ и $x^2 \geq 0$, значит $y’ > 0$ при любом значении $x$;

г) $y = -x^3 — x^5 + 27$;

$y’ = -(x^3)’ — (x^5)’ + (27)’$;

$$y’ = -3x^2 — 5x^4 + 0;$$

$3x^2 \geq 0$ и $5x^4 \geq 0$, значит $y’ \leq 0$ при любом значении $x$

а) $y = \frac{1}{3}x^3 + 2x^2 + 5x — 12$

1) Нахождение производной:

Для нахождения производной функции $y = \frac{1}{3}x^3 + 2x^2 + 5x — 12$, применяем стандартные правила дифференцирования.

• Производная $\frac{1}{3}x^3$ по $x$:

  Для степенной функции $\frac{1}{3}x^3$ производная будет:

  $$\frac{d}{dx} \left( \frac{1}{3}x^3 \right) = \frac{1}{3} \cdot 3x^2 = x^2$$

• Производная $2x^2$ по $x$:

  Производная от $2x^2$ по $x$ равна:

  $$\frac{d}{dx} (2x^2) = 2 \cdot 2x = 4x$$

• Производная $5x$ по $x$:

  Производная от $5x$ по $x$ равна:

  $$\frac{d}{dx} (5x) = 5$$

• Производная $-12$ по $x$:

  Производная от постоянной величины $-12$ по $x$ равна 0, так как производная от любой константы — это 0.

Теперь, складываем все найденные производные:

$$y’ = x^2 + 4x + 5$$

2) Нахождение экстремумов:

Экстремумы функции находятся через решение уравнения $y’ = 0$.

Нам нужно решить следующее уравнение:

$$x^2 + 4x + 5 = 0$$

Для этого найдем дискриминант $D$ квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$ с коэффициентами $a = 1$, $b = 4$, $c = 5$:

$$D = b^2 — 4ac = 4^2 — 4 \cdot 1 \cdot 5 = 16 — 20 = -4$$

Так как дискриминант $D$ отрицателен ($D < 0$), у уравнения нет действительных корней. Это значит, что производная $y’$ не пересекает ось абсцисс, а значит, функция не имеет точек экстремума.

б) $y = -\frac{1}{3}x^3 + \frac{3}{2}x^2 — 3x + 9$

1) Нахождение производной:

Для нахождения производной функции $y = -\frac{1}{3}x^3 + \frac{3}{2}x^2 — 3x + 9$, также применяем правила дифференцирования:

• Производная $-\frac{1}{3}x^3$ по $x$:

$$\frac{d}{dx} \left( -\frac{1}{3}x^3 \right) = -\frac{1}{3} \cdot 3x^2 = -x^2$$

• Производная $\frac{3}{2}x^2$ по $x$:

$$\frac{d}{dx} \left( \frac{3}{2}x^2 \right) = \frac{3}{2} \cdot 2x = 3x$$

• Производная $-3x$ по $x$:

$$\frac{d}{dx} (-3x) = -3$$

• Производная $9$ по $x$:

Производная от постоянной величины равна 0:

$$\frac{d}{dx} (9) = 0$$

Теперь, складываем все найденные производные:

$$y’ = -x^2 + 3x — 3$$

2) Нахождение экстремумов:

Теперь решим уравнение $y’ = 0$, чтобы найти экстремумы:

$$-x^2 + 3x — 3 = 0$$

Для этого найдем дискриминант $D$ уравнения:

$$D = b^2 — 4ac = 3^2 — 4 \cdot (-1) \cdot (-3) = 9 — 12 = -3$$

Так как дискриминант $D$ отрицателен ($D < 0$), у уравнения нет действительных корней. Это также означает, что производная $y’$ не пересекает ось абсцисс, и функция не имеет точек экстремума.

в) $y = \frac{1}{5}x^5 + \frac{1}{3}x^3 + x — 7$

1) Нахождение производной:

Для нахождения производной функции $y = \frac{1}{5}x^5 + \frac{1}{3}x^3 + x — 7$:

• Производная $\frac{1}{5}x^5$ по $x$:

$$\frac{d}{dx} \left( \frac{1}{5}x^5 \right) = \frac{1}{5} \cdot 5x^4 = x^4$$

• Производная $\frac{1}{3}x^3$ по $x$:

$$\frac{d}{dx} \left( \frac{1}{3}x^3 \right) = \frac{1}{3} \cdot 3x^2 = x^2$$

• Производная $x$ по $x$:

$$\frac{d}{dx} (x) = 1$$

• Производная $-7$ по $x$:

$$\frac{d}{dx} (-7) = 0$$

Теперь, складываем все производные:

$$y’ = x^4 + x^2 + 1$$

2) Нахождение экстремумов:

Решим уравнение $y’ = 0$, чтобы найти экстремумы:

$$x^4 + x^2 + 1 = 0$$

Рассмотрим слагаемые:

• $x^4 \geq 0$ (потому что $x^4$ всегда неотрицательно для всех $x$),
• $x^2 \geq 0$ (аналогично, $x^2$ всегда неотрицательно),
• $1$ — положительное число.

Сумма этих трех чисел не может быть равна 0, так как все слагаемые положительны. Это значит, что уравнение не имеет действительных корней, а значит, производная $y’$ не пересекает ось абсцисс. Функция не имеет точек экстремума.

г) $y = -x^3 — x^5 + 27$

1) Нахождение производной:

Для нахождения производной функции $y = -x^3 — x^5 + 27$:

• Производная $-x^3$ по $x$:

$$\frac{d}{dx} (-x^3) = -3x^2$$

• Производная $-x^5$ по $x$:

$$\frac{d}{dx} (-x^5) = -5x^4$$

• Производная $27$ по $x$:

$$\frac{d}{dx} (27) = 0$$

Теперь, складываем все найденные производные:

$$y’ = -3x^2 — 5x^4$$

2) Нахождение экстремумов:

Решим уравнение $y’ = 0$, чтобы найти экстремумы:

$$-3x^2 — 5x^4 = 0$$

Выносим общий множитель $-x^2$:

$$-x^2(3 + 5x^2) = 0$$

Это уравнение имеет два множителя:

1. $-x^2 = 0$, что дает $x = 0$,
2. $3 + 5x^2 = 0$, что приводит к $x^2 = -\frac{3}{5}$, что не имеет действительных решений.

Таким образом, $x = 0$ является единственным возможным решением. Теперь проверим, является ли это точкой экстремума.

Для проверки знака производной:

• $3x^2 \geq 0$ и $5x^4 \geq 0$, поэтому $y’ \leq 0$ при всех значениях $x$.

Так как производная всегда неотрицательна или равна нулю, у функции нет точек экстремума.