ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 44.57 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Производная функции $y = ax^2 + 7x + 1$ в точке $x_0$ равна $c$. Найдите точку экстремума функции и определите, является ли она точкой максимума или точкой минимума, если:

а) $x_0 = 0,5$, $c = 15$;

б) $x_0 = 3$, $c = -5$;

в) $x_0 = -1$, $c = 9$;

г) $x_0 = -0,5$, $c = 7,1$.

Дана функция:
$y = ax^2 + 7x + 1$
и
$y'(x_0) = c;$

Решение:

Найдем производную функции $y$:
$y’ = (ax^2)’ + (7x + 1)’ = 2ax + 7;$

По условию $y'(x_0) = c$, поэтому:
$2ax_0 + 7 = c;$
отсюда:
$2ax_0 = c — 7,$
$2a = \frac{c — 7}{x_0};$

а) $x_0 = 0,5$ и $c = 15$:

Значение параметра $a$:
$2a = \frac{15 — 7}{0,5} = \frac{8}{0,5} = 16;$
$a = 8;$

Промежуток возрастания:
$16x + 7 \geq 0;$
$16x \geq -7,$
отсюда:
$x \geq -\frac{7}{16};$

Ответ: $x = -\frac{7}{16}$ — точка минимума.

б) $x_0 = 3$ и $c = -5$:

Значение параметра $a$:
$2a = \frac{-5 — 7}{3} = \frac{-12}{3} = -4;$
$a = -2;$

Промежуток возрастания:
$-4x + 7 \geq 0;$
$-4x \geq -7,$
отсюда:
$x \leq \frac{7}{4};$

Ответ: $x = \frac{7}{4}$ — точка максимума.

в) $x_0 = -1$ и $c = 9$:

Значение параметра $a$:
$2a = \frac{9 — 7}{-1} = \frac{2}{-1} = -2;$
$a = -1;$

Промежуток возрастания:
$-2x + 7 \geq 0;$
$-2x \geq -7,$
отсюда:
$x \leq 3,5;$

Ответ: $x = 3,5$ — точка максимума.

г) $x_0 = -0,5$ и $c = 7,1$:

Значение параметра $a$:
$2a = \frac{7,1 — 7}{-0,5} = \frac{0,1}{-0,5} = -0,2;$
$a = -0,1;$

Промежуток возрастания:
$-0,2x + 7 \geq 0;$
$-0,2x \geq -7,$
отсюда:
$x \leq 35;$

Ответ: $x = 35$ — точка максимума.

Функция:

$$y = ax^2 + 7x + 1$$

Производная функции в точке $x_0$ равна $c$, то есть:

$$y'(x_0) = c$$

Шаг 1: Найдем производную функции

Функция $y = ax^2 + 7x + 1$ состоит из трёх слагаемых. Найдем её производную по стандартным правилам дифференцирования:

Производная от $ax^2$ по $x$ равна $2ax$, поскольку производная от $x^2$ равна $2x$, а коэффициент $a$ остается на месте.

Производная от $7x$ по $x$ равна $7$, поскольку производная от $x$ равна 1, а коэффициент 7 остаётся.

Производная от константы 1 равна 0, так как производная от любой константы равна нулю.

Таким образом, производная функции $y$:

$$y’ = 2ax + 7$$

Шаг 2: Используем условие задачи $y'(x_0) = c$

По условию задачи, производная в точке $x_0$ равна $c$:

$$y'(x_0) = 2ax_0 + 7 = c$$

Решаем это уравнение относительно параметра $a$:

$$2ax_0 + 7 = c$$ $$2ax_0 = c — 7$$ $$a = \frac{c — 7}{2x_0}$$

Теперь мы можем найти значение параметра $a$ для каждого из случаев задачи.

Шаг 3: Найдем точку экстремума и его характер

Чтобы найти точку экстремума функции, рассмотрим её второй производной:

$$y» = \frac{d}{dx}(2ax + 7) = 2a$$

Точка экстремума будет в той точке, где первая производная равна нулю:

$$y’ = 2ax + 7 = 0$$

Решаем относительно $x$:

$$2ax = -7$$ $$x = -\frac{7}{2a}$$

Затем проверим характер экстремума. Для этого рассмотрим знак второй производной:

Если $y» > 0$, то это точка минимума.

Если $y» < 0$, то это точка максимума.

Теперь приступим к решению каждого из пунктов задачи.

а) $x_0 = 0,5$, $c = 15$

Найдем значение параметра $a$ из уравнения:

$$a = \frac{15 — 7}{2 \cdot 0,5} = \frac{8}{1} = 8$$

Найдем точку экстремума. Подставим $a = 8$ в формулу для точки экстремума:

$$x = -\frac{7}{2a} = -\frac{7}{2 \cdot 8} = -\frac{7}{16}$$

Проверим, является ли это точка максимума или минимума, используя вторую производную:

$$y» = 2a = 2 \cdot 8 = 16$$

Так как $y» > 0$, это точка минимума.

Ответ:

$$x = -\frac{7}{16} \quad \text{— точка минимума.}$$

б) $x_0 = 3$, $c = -5$

Найдем значение параметра $a$:

$$a = \frac{-5 — 7}{2 \cdot 3} = \frac{-12}{6} = -2$$

Найдем точку экстремума:

$$x = -\frac{7}{2a} = -\frac{7}{2 \cdot (-2)} = \frac{7}{4}$$

Проверим, является ли это точка максимума или минимума, используя вторую производную:

$$y» = 2a = 2 \cdot (-2) = -4$$

Так как $y» < 0$, это точка максимума.

Ответ:

$$x = \frac{7}{4} \quad \text{— точка максимума.}$$

в) $x_0 = -1$, $c = 9$

Найдем значение параметра $a$:

$$a = \frac{9 — 7}{2 \cdot (-1)} = \frac{2}{-2} = -1$$

Найдем точку экстремума:

$$x = -\frac{7}{2a} = -\frac{7}{2 \cdot (-1)} = \frac{7}{2}$$

Проверим, является ли это точка максимума или минимума, используя вторую производную:

$$y» = 2a = 2 \cdot (-1) = -2$$

Так как $y» < 0$, это точка максимума.

Ответ:

$$x = 3,5$$

г) $x_0 = -0,5$, $c = 7,1$

Найдем значение параметра $a$:

$$a = \frac{7,1 — 7}{2 \cdot (-0,5)} = \frac{0,1}{-1} = -0,1$$

Найдем точку экстремума:

$$x = -\frac{7}{2a} = -\frac{7}{2 \cdot (-0,1)} = \frac{7}{0,2} = 35$$

Проверим, является ли это точка максимума или минимума, используя вторую производную:

$$y» = 2a = 2 \cdot (-0,1) = -0,2$$

Так как $y» < 0$, это точка максимума.

Ответ:

$$x = 35 \quad \text{— точка максимума.}$$

Итоговое решение:

а) $x = -\frac{7}{16}$ — точка минимума.

б) $x = \frac{7}{4}$ — точка максимума.

в) $x = 3,5$ — точка максимума.

г) $x = 35$ — точка максимума.