ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 44.58 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Найдите точки экстремума заданной функции и определите их характер:

а) $y = |x^4 + 1| + |x^4 — 1| + 2x^3$;

б) $y = |x^3 — 8| + |x^3 — 1| — x^2$

а) $y = |x^4 + 1| + |x^4 — 1| + 2x^3$;

$x^4 + 1 \geq 0$;
$x^4 \geq -1$ — верно при любом значении $x$;

$x^4 — 1 \geq 0$;
$x^4 \geq 1$, отсюда $x \leq -1$ или $x \geq 1$;

По определению модуля числа:

$$y = \begin{cases} x^4 + 1 + x^4 — 1 + 2x^3, & \text{если } x \leq -1 \text{ или } x \geq 1; \\ x^4 + 1 — x^4 + 1 + 2x^3, & \text{если } -1 < x < 1 \end{cases};$$

Первая функция:

$$y’ = 2(x^4)’ + 2(x^3)’ = 2 \cdot 4x^3 + 2 \cdot 3x^2 = 8x^3 + 6x^2;$$

Промежуток возрастания:

$$8x^3 + 6x^2 \geq 0;$$ $$(4x + 3) \cdot 2x^2 \geq 0;$$ $$4x + 3 \geq 0;$$ $$4x \geq -3, \text{ отсюда } x \geq -\frac{3}{4};$$

Вторая функция:

$$y’ = (2)’ + 2(x^3)’ = 0 + 2 \cdot 3x^2 = 6x^2;$$ $$6x^2 \geq 0, \text{ значит } y’ \geq 0 \text{ при любом значении } x;$$

При $x = -1$ первая функция убывает, а вторая возрастает, значит:
$x = -1$ — точка минимума;

При $x = 1$ обе функции возрастают;
Ответ: $x = -1$ — точка минимума.

б) $y = |x^3 — 8| + |x^3 — 1| — x^2$;

$x^3 — 8 \geq 0$;
$x^3 \geq 8$, отсюда $x \geq 2$;

$x^3 — 1 \geq 0$;
$x^3 \geq 1$, отсюда $x \geq 1$;

По определению модуля числа:

$$y = \begin{cases} x^3 — 8 + x^3 — 1 — x^2, & \text{если } x \geq 2; \\ -x^3 + 8 + x^3 — 1 — x^2, & \text{если } 1 \leq x < 2; \\ -x^3 + 8 — x^3 + 1 — x^2, & \text{если } x < 1 \end{cases}$$

Первая функция:

$$y’ = 2(x^3)’ — (9)’ — (x^2)’ = 2 \cdot 3x^2 — 0 — 2x = 6x^2 — 2x;$$

Промежуток возрастания:

$$6x^2 — 2x \geq 0;$$ $$2x(3x — 1) \geq 0;$$ $$x \leq 0 \text{ или } x \geq \frac{1}{3};$$

Вторая функция:

$$y’ = (7)’ — (x^2)’ = 0 — 2x;$$

Промежуток возрастания:

$$-2x \geq 0, \text{ отсюда } x \leq 0;$$

Третья функция:

$$y’ = -2(x^3)’ + (9)’ — (x^2)’ = -2 \cdot 3x^2 + 0 — 2x = -6x^2 — 2x;$$

Промежуток возрастания:

$$-6x^2 — 2x \geq 0;$$ $$6x^2 + 2x \leq 0;$$ $$2x(3x + 1) \leq 0;$$ $$-\frac{1}{3} \leq x \leq 0;$$

При $x = 2$ вторая функция убывает, а первая возрастает, значит:
$x = 2$ — точка минимума;

При $x = 1$ обе функции убывают;
Ответ: $x = 0$ — точка максимума;
$x = -\frac{1}{3}$ и $x = 2$ — точки минимума.

а) $y = |x^4 + 1| + |x^4 — 1| + 2x^3$

Анализ первого модуля:

Рассмотрим выражение $|x^4 + 1|$. Модуль числа всегда неотрицателен, то есть:

$$|x^4 + 1| = x^4 + 1, \text{ так как } x^4 + 1 \geq 0 \text{ для любого } x.$$

Это верно, потому что $x^4 \geq 0$ для всех $x$, а прибавление 1 всегда будет давать положительное число.

Анализ второго модуля:

Рассмотрим выражение $|x^4 — 1|$. Это выражение равно:

$$|x^4 — 1| = \begin{cases} x^4 — 1, & \text{если } x^4 \geq 1, \\ -(x^4 — 1) = 1 — x^4, & \text{если } x^4 < 1. \end{cases}$$

Важно определить, при каких значениях $x$ выполняется неравенство $x^4 \geq 1$. Мы решаем его:

$$x^4 \geq 1 \quad \Rightarrow \quad |x| \geq 1 \quad \Rightarrow \quad x \geq 1 \text{ или } x \leq -1.$$

Таким образом:

$$|x^4 — 1| = \begin{cases} x^4 — 1, & \text{если } x \geq 1 \text{ или } x \leq -1, \\ 1 — x^4, & \text{если } -1 < x < 1. \end{cases}$$

Функция $y = |x^4 + 1| + |x^4 — 1| + 2x^3$:

Объединим эти два модуля в зависимость от значений $x$:

$$y = \begin{cases} x^4 + 1 + x^4 — 1 + 2x^3 = 2x^4 + 2x^3, & \text{если } x \geq 1 \text{ или } x \leq -1, \\ x^4 + 1 — (x^4 — 1) + 2x^3 = 2 + 2x^3, & \text{если } -1 < x < 1. \end{cases}$$

Таким образом, функция $y$ имеет вид:

$$y = \begin{cases} 2x^4 + 2x^3, & \text{если } x \geq 1 \text{ или } x \leq -1, \\ 2 + 2x^3, & \text{если } -1 < x < 1. \end{cases}$$

Находим производную первой функции $y = 2x^4 + 2x^3$:

Для $x \geq 1$ или $x \leq -1$ функция $y = 2x^4 + 2x^3$. Найдем её производную:

$$y’ = \frac{d}{dx}(2x^4 + 2x^3) = 8x^3 + 6x^2.$$

Преобразуем для нахождения интервала возрастания:

$$8x^3 + 6x^2 \geq 0.$$

Вынесем общий множитель:

$$2x^2(4x + 3) \geq 0.$$

Это неравенство выполняется, когда:

$$x \geq -\frac{3}{4}.$$

Таким образом, функция возрастает при $x \geq -\frac{3}{4}$.

Находим производную второй функции $y = 2 + 2x^3$:

Для $-1 < x < 1$ функция $y = 2 + 2x^3$. Найдем её производную:

$$y’ = \frac{d}{dx}(2 + 2x^3) = 6x^2.$$

Поскольку $y’ = 6x^2 \geq 0$ для любого $x$, то функция всегда возрастает на интервале $-1 < x < 1$.

Анализ поведения функции в точке $x = -1$:

При $x = -1$ первая функция убывает (так как её производная $8x^3 + 6x^2$ будет отрицательной), а вторая возрастает. Это указывает на точку минимума.

Анализ поведения функции в точке $x = 1$:

При $x = 1$ обе функции возрастают. Следовательно, точка $x = -1$ является точкой минимума.

Ответ: $x = -1$ — точка минимума.

б) $y = |x^3 — 8| + |x^3 — 1| — x^2$

Анализ первого модуля:

Рассмотрим выражение $|x^3 — 8|$. Это выражение равно:

$$|x^3 — 8| = \begin{cases} x^3 — 8, & \text{если } x^3 \geq 8, \\ -(x^3 — 8) = 8 — x^3, & \text{если } x^3 < 8. \end{cases}$$

То есть, $|x^3 — 8| = x^3 — 8$ для $x \geq 2$, и $|x^3 — 8| = 8 — x^3$ для $x < 2$.

Анализ второго модуля:

Рассмотрим выражение $|x^3 — 1|$. Это выражение равно:

$$|x^3 — 1| = \begin{cases} x^3 — 1, & \text{если } x^3 \geq 1, \\ -(x^3 — 1) = 1 — x^3, & \text{если } x^3 < 1. \end{cases}$$

То есть, $|x^3 — 1| = x^3 — 1$ для $x \geq 1$, и $|x^3 — 1| = 1 — x^3$ для $x < 1$.

Функция $y = |x^3 — 8| + |x^3 — 1| — x^2$:

Объединим эти два модуля в зависимости от значений $x$:

$$y = \begin{cases} (x^3 — 8) + (x^3 — 1) — x^2 = 2x^3 — 9 — x^2, & \text{если } x \geq 2, \\ (8 — x^3) + (x^3 — 1) — x^2 = 7 — x^2, & \text{если } 1 \leq x < 2, \\ (8 — x^3) + (1 — x^3) — x^2 = 9 — 2x^3 — x^2, & \text{если } x < 1. \end{cases}$$

Находим производную первой функции $y = 2x^3 — 9 — x^2$:

Для $x \geq 2$ функция $y = 2x^3 — 9 — x^2$. Найдем её производную:

$$y’ = 6x^2 — 2x.$$

Преобразуем для нахождения интервала возрастания:

$$6x^2 — 2x = 2x(3x — 1) \geq 0.$$

Это неравенство выполняется при $x \leq 0$ или $x \geq \frac{1}{3}$.

Находим производную второй функции $y = 7 — x^2$:

Для $1 \leq x < 2$ функция $y = 7 — x^2$. Найдем её производную:

$$y’ = -2x.$$

Промежуток возрастания:

$$-2x \geq 0 \quad \Rightarrow \quad x \leq 0.$$

Находим производную третьей функции $y = 9 — 2x^3 — x^2$:

Для $x < 1$ функция $y = 9 — 2x^3 — x^2$. Найдем её производную:

$$y’ = -6x^2 — 2x.$$

Промежуток возрастания:

$$-6x^2 — 2x \geq 0 \quad \Rightarrow \quad 2x(3x + 1) \leq 0.$$

Это неравенство выполняется при $-\frac{1}{3} \leq x \leq 0$.

Анализ точек минимумов и максимумов:

При $x = 2$ вторая функция убывает, а первая возрастает, значит, $x = 2$ — точка минимума.

Решение для точек максимума и минимума:

При $x = 1$ обе функции убывают. Ответ:
$x = 0$ — точка максимума;
$x = -\frac{1}{3}$ и $x = 2$ — точки минимума.

Ответ: $x = 0$ — точка максимума;
$x = -\frac{1}{3}$ и $x = 2$ — точки минимума.