ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 44.59 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Исследуйте функцию на монотонность и экстремумы:

а) $y = \sin x — \frac{1}{2}x$;

б) $y = \frac{x}{2} — \cos x$;

в) $y = \frac{1}{\sqrt{2}}x + \cos x$;

г) $y = x — \sin x$

а) $y = \sin x — \frac{1}{2}x$;

$y’ = (\sin x)’ — \frac{1}{2}(x)’ = \cos x — \frac{1}{2};$

Промежуток возрастания:

$$\cos x — \frac{1}{2} \geq 0;$$ $$\cos x \geq \frac{1}{2};$$ $$-\frac{\pi}{3} + 2\pi n \leq x \leq \frac{\pi}{3} + 2\pi n;$$

Ответ: возрастает на $\left[-\frac{\pi}{3} + 2\pi n; \frac{\pi}{3} + 2\pi n\right]$;

убывает на $\left[\frac{\pi}{3} + 2\pi n; \frac{5\pi}{3} + 2\pi n\right]$;

$x = \frac{\pi}{3} + 2\pi n$ — точки максимума;

$x = -\frac{\pi}{3} + 2\pi n$ — точки минимума.

б) $y = \frac{x}{2} — \cos x$;

$y’ = \frac{1}{2}(x)’ — (\cos x)’ = \frac{1}{2} + \sin x;$

Промежуток убывания:

$$\frac{1}{2} + \sin x \leq 0;$$ $$\sin x \leq -\frac{1}{2};$$ $$\frac{7\pi}{6} + 2\pi n \leq x \leq \frac{11\pi}{6} + 2\pi n;$$

Ответ: возрастает на $\left[-\frac{\pi}{6} + 2\pi n; \frac{7\pi}{6} + 2\pi n\right]$;

убывает на $\left[\frac{7\pi}{6} + 2\pi n; \frac{11\pi}{6} + 2\pi n\right]$;

$x = \frac{7\pi}{6} + 2\pi n$ — точки максимума;

$x = -\frac{\pi}{6} + 2\pi n$ — точки минимума.

в) $y = \frac{1}{\sqrt{2}}x + \cos x$;

$y’ = \frac{1}{\sqrt{2}}(x)’ + (\cos x)’ = \frac{1}{\sqrt{2}} — \sin x;$

Промежуток убывания:

$$\frac{1}{\sqrt{2}} — \sin x \leq 0;$$ $$\sin x \geq \frac{1}{\sqrt{2}};$$ $$\frac{\pi}{4} + 2\pi n \leq x \leq \frac{3\pi}{4} + 2\pi n;$$

Ответ: возрастает на $\left[-\frac{5\pi}{4} + 2\pi n; \frac{\pi}{4} + 2\pi n\right]$;

убывает на $\left[\frac{\pi}{4} + 2\pi n; \frac{3\pi}{4} + 2\pi n\right]$;

$x = \frac{\pi}{4} + 2\pi n$ — точки максимума;

$x = \frac{3\pi}{4} + 2\pi n$ — точки минимума.

г) $y = x — \sin x$;

$y’ = (x)’ — (\sin x)’ = 1 — \cos x;$

$$-1 \leq \cos x \leq 1, \text{значит } y’ \geq 0 \text{ при любом значении } x;$$

Ответ: возрастает на всей числовой прямой.

а) $y = \sin x — \frac{1}{2}x$

Нахождение производной функции:

Рассмотрим функцию $y = \sin x — \frac{1}{2}x$. Для нахождения производной используем стандартные правила дифференцирования:

• Производная $\sin x$ равна $\cos x$;
• Производная $\frac{1}{2}x$ равна $\frac{1}{2}$.

Таким образом, производная функции $y$ будет:

$$y’ = (\sin x)’ — \frac{1}{2}(x)’ = \cos x — \frac{1}{2}.$$

Определение промежутков возрастания:

Для нахождения промежутков возрастания функции $y$, нужно решить неравенство $y’ \geq 0$:

$$\cos x — \frac{1}{2} \geq 0.$$

Это неравенство можно переписать как:

$$\cos x \geq \frac{1}{2}.$$

Теперь, чтобы найти значения $x$, при которых это неравенство выполняется, нужно вспомнить, что $\cos x = \frac{1}{2}$ при:

$$x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}.$$

Это можно записать как:

$$-\frac{\pi}{3} + 2\pi n \leq x \leq \frac{\pi}{3} + 2\pi n.$$

Таким образом, промежуток возрастания функции $y$ имеет вид:

$$\left[-\frac{\pi}{3} + 2\pi n; \frac{\pi}{3} + 2\pi n\right].$$

Определение промежутков убывания:

Функция убывает на промежутке, где $y’ \leq 0$, то есть где $\cos x \leq \frac{1}{2}$. Это неравенство выполняется на интервале:

$$\frac{\pi}{3} + 2\pi n \leq x \leq \frac{5\pi}{3} + 2\pi n.$$

Таким образом, промежуток убывания функции $y$ имеет вид:

$$\left[\frac{\pi}{3} + 2\pi n; \frac{5\pi}{3} + 2\pi n\right].$$

Точки экстремума:

Для нахождения точек максимума и минимума нужно исследовать, в каких точках на промежутках возрастания и убывания функция изменяет направление.

• Максимум функции возникает в точке, где производная меняет знак с положительного на отрицательный, то есть при $x = \frac{\pi}{3} + 2\pi n$.
• Минимум функции возникает в точке, где производная меняет знак с отрицательного на положительный, то есть при $x = -\frac{\pi}{3} + 2\pi n$.

Ответ:

Функция возрастает на $\left[-\frac{\pi}{3} + 2\pi n; \frac{\pi}{3} + 2\pi n\right]$;

Функция убывает на $\left[\frac{\pi}{3} + 2\pi n; \frac{5\pi}{3} + 2\pi n\right]$;

Точки максимума: $x = \frac{\pi}{3} + 2\pi n$;

Точки минимума: $x = -\frac{\pi}{3} + 2\pi n$.

б) $y = \frac{x}{2} — \cos x$

Нахождение производной функции:

Для функции $y = \frac{x}{2} — \cos x$ производная будет вычисляться по тем же правилам:

• Производная $\frac{x}{2}$ равна $\frac{1}{2}$;
• Производная $\cos x$ равна $-\sin x$.

Таким образом, производная функции $y$ будет:

$$y’ = \frac{1}{2}(x)’ — (\cos x)’ = \frac{1}{2} + \sin x.$$

Определение промежутка убывания:

Функция будет убывать, когда производная $y’$ будет меньше или равна нулю:

$$\frac{1}{2} + \sin x \leq 0.$$

Это неравенство можно переписать как:

$$\sin x \leq -\frac{1}{2}.$$

Мы знаем, что $\sin x = -\frac{1}{2}$ при:

$$x = \frac{7\pi}{6} + 2\pi n \quad \text{и} \quad x = \frac{11\pi}{6} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}.$$

Таким образом, промежуток убывания функции $y$ будет:

$$\frac{7\pi}{6} + 2\pi n \leq x \leq \frac{11\pi}{6} + 2\pi n.$$

Определение промежутка возрастания:

На промежутке, где $\sin x \geq -\frac{1}{2}$, функция будет возрастать. Это неравенство выполняется на интервале:

$$-\frac{\pi}{6} + 2\pi n \leq x \leq \frac{7\pi}{6} + 2\pi n.$$

Точки экстремума:

• Максимум функции будет в точке, где производная меняет знак с положительного на отрицательный, то есть при $x = \frac{7\pi}{6} + 2\pi n$.
• Минимум функции будет в точке, где производная меняет знак с отрицательного на положительный, то есть при $x = -\frac{\pi}{6} + 2\pi n$.

Ответ:

Функция возрастает на $\left[-\frac{\pi}{6} + 2\pi n; \frac{7\pi}{6} + 2\pi n\right]$;

Функция убывает на $\left[\frac{7\pi}{6} + 2\pi n; \frac{11\pi}{6} + 2\pi n\right]$;

Точки максимума: $x = \frac{7\pi}{6} + 2\pi n$;

Точки минимума: $x = -\frac{\pi}{6} + 2\pi n$.

в) $y = \frac{1}{\sqrt{2}}x + \cos x$

Нахождение производной функции:

Для функции $y = \frac{1}{\sqrt{2}}x + \cos x$ производная будет вычисляться по стандартным правилам:

• Производная $\frac{1}{\sqrt{2}}x$ равна $\frac{1}{\sqrt{2}}$;
• Производная $\cos x$ равна $-\sin x$.

Таким образом, производная функции $y$ будет:

$$y’ = \frac{1}{\sqrt{2}}(x)’ + (\cos x)’ = \frac{1}{\sqrt{2}} — \sin x.$$

Определение промежутка убывания:

Для нахождения промежутка убывания, нужно решить неравенство:

$$\frac{1}{\sqrt{2}} — \sin x \leq 0.$$

Это можно переписать как:

$$\sin x \geq \frac{1}{\sqrt{2}}.$$

Мы знаем, что $\sin x = \frac{1}{\sqrt{2}}$ при:

$$x = \frac{\pi}{4} + 2\pi n \quad \text{и} \quad x = \frac{3\pi}{4} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}.$$

Таким образом, промежуток убывания функции $y$ будет:

$$\frac{\pi}{4} + 2\pi n \leq x \leq \frac{3\pi}{4} + 2\pi n.$$

Определение промежутка возрастания:

На промежутке, где $\sin x \leq \frac{1}{\sqrt{2}}$, функция будет возрастать. Это неравенство выполняется на интервале:

$$-\frac{5\pi}{4} + 2\pi n \leq x \leq \frac{\pi}{4} + 2\pi n.$$

Точки экстремума:

• Максимум функции будет в точке, где производная меняет знак с положительного на отрицательный, то есть при $x = \frac{\pi}{4} + 2\pi n$.
• Минимум функции будет в точке, где производная меняет знак с отрицательного на положительный, то есть при $x = \frac{3\pi}{4} + 2\pi n$.

Ответ:

Функция возрастает на $\left[-\frac{5\pi}{4} + 2\pi n; \frac{\pi}{4} + 2\pi n\right]$;

Функция убывает на $\left[\frac{\pi}{4} + 2\pi n; \frac{3\pi}{4} + 2\pi n\right]$;

Точки максимума: $x = \frac{\pi}{4} + 2\pi n$;

Точки минимума: $x = \frac{3\pi}{4} + 2\pi n$.

г) $y = x — \sin x$

Нахождение производной функции:

Для функции $y = x — \sin x$ производная будет вычисляться по стандартным правилам:

• Производная $x$ равна 1;
• Производная $\sin x$ равна $\cos x$.

Таким образом, производная функции $y$ будет:

$$y’ = (x)’ — (\sin x)’ = 1 — \cos x.$$

Анализ производной:

Так как $-1 \leq \cos x \leq 1$, то производная функции $y$ всегда больше или равна нулю:

$$y’ = 1 — \cos x \geq 0 \quad \text{при любом } x.$$

Это означает, что функция $y$ всегда возрастает на всей числовой прямой.

Ответ:

Функция возрастает на всей числовой прямой.