ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 44.6 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

На рис. 109—112 изображены графики функций $y = f(x)$, $y = g(x)$, $y = h(x)$ и $y = φ(x)$, определённых на всей числовой прямой. Используя их, решите неравенство:

а) $f'(x) > 0$;
б) $g'(x) < 0$;
в) $h'(x) < 0$;
г) $φ'(x) > 0$.

а) $f'(x) > 0$;
Функция возрастает на промежутке $(-∞; 2]$;
Ответ: $x < 2$.

б) $g'(x) < 0$;
Функция убывает на промежутках $(-∞; 2] \cup [5; +∞)$;
Ответ: $x \in (-∞; 2) \cup (5; +∞)$.

в) $h'(x) < 0$;
Функция убывает на промежутке $(-∞; 0]$;
Ответ: $x < 0$.

г) $φ'(x) > 0$;
Функция возрастает на промежутках $(-∞; -3] \cup [0; +∞)$;
Ответ: $x \in (-∞; -3) \cup (0; +∞)$.

Напоминание:

Производная функции $f'(x)$ в данной точке показывает наклон касательной к графику функции в этой точке, а значит:

• Если $f'(x) > 0$, то функция возрастает на этом участке.
• Если $f'(x) < 0$, то функция убывает на этом участке.
• Если $f'(x) = 0$, то возможно (не всегда!) в этой точке — максимум, минимум или перегиб, то есть касательная горизонтальна.

а) $f'(x) > 0$

Задача: найти промежутки, на которых производная функции положительна, т.е. функция $f(x)$ возрастает.

По графику $y = f(x)$ мы видим:

• Функция возрастает слева направо, пока $x$ не дойдет до точки $x = 2$.
• В точке $x = 2$ — функция достигает максимума (горизонтальная касательная).
• После $x = 2$ — функция убывает.

Значит, производная $f'(x) > 0$ на тех промежутках, где функция возрастает, то есть:

$$f'(x) > 0 \text{ при } x < 2$$

Ответ: $x < 2$

б) $g'(x) < 0$

Задача: найти промежутки, где производная функции отрицательна, то есть где $g(x)$ убывает.

По графику $y = g(x)$ мы наблюдаем:

• Функция убывает от $-\infty$ до $x = 2$.
• Затем возрастает от $x = 2$ до $x = 5$.
• После $x = 5$, снова начинает убывать.

Это значит, что производная:

• $g'(x) < 0$ на промежутке $(-\infty; 2)$,
• и снова $g'(x) < 0$ на промежутке $(5; +\infty)$.

В точках $x = 2$ и $x = 5$ производная, скорее всего, равна нулю (горизонтальные касательные), их исключаем.

Ответ: $x \in (-\infty; 2) \cup (5; +\infty)$

в) $h'(x) < 0$

Задача: найти, где производная функции $h(x)$ отрицательна, т.е. где функция убывает.

По графику $y = h(x)$ видно:

• Функция убывает от $-\infty$ до точки $x = 0$.
• В точке $x = 0$ — минимум (горизонтальная касательная).
• После $x = 0$ — функция возрастает.

Это значит:

• Производная $h'(x) < 0$ на промежутке $(-\infty; 0)$.

Ответ: $x < 0$

г) $\varphi'(x) > 0$

Задача: найти промежутки возрастания функции $\varphi(x)$, т.е. где производная положительна.

По графику $y = \varphi(x)$ видно:

• Функция возрастает от $-\infty$ до точки $x = -3$,
• Затем убывает до $x = 0$,
• Потом снова возрастает от $x = 0$ до $+\infty$.

Следовательно, производная:

• $\varphi'(x) > 0$ на промежутках $(-\infty; -3)$ и $(0; +\infty)$.

В точках $x = -3$ и $x = 0$ производная, вероятно, равна нулю (горизонтальные касательные), эти точки исключаем.

Ответ: $x \in (-\infty; -3) \cup (0; +\infty)$

Итоговые ответы:

а) $x < 2$
б) $x \in (-\infty; 2) \cup (5; +\infty)$
в) $x < 0$
г) $x \in (-\infty; -3) \cup (0; +\infty)$