ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 44.60 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Исследуйте функцию на монотонность и экстремумы:

а) $y = x — \sin 2x$;

б) $y = x + 4 \cos \frac{x}{2}$

а) $y = x — \sin 2x$;

$y’ = (x)’ — (\sin 2x)’ = 1 — 2 \cos 2x$;

Промежуток убывания:

$$1 — 2 \cos 2x \leq 0;$$ $$2 \cos 2x \leq -1;$$ $$\cos 2x \leq -\frac{1}{2};$$ $$-\frac{\pi}{3} + 2\pi n \leq 2x \leq \frac{\pi}{3} + 2\pi n;$$ $$-\frac{\pi}{6} + \pi n \leq x \leq \frac{\pi}{6} + \pi n;$$

Ответ: возрастает на $\left[\frac{\pi}{6} + \pi n; \frac{5\pi}{6} + \pi n\right]$;

убывает на $\left[-\frac{\pi}{6} + \pi n; \frac{\pi}{6} + \pi n\right]$;

$x = -\frac{\pi}{6} + \pi n$ — точки максимума;

$x = \frac{\pi}{6} + \pi n$ — точки минимума.

б) $y = x + 4 \cos \frac{x}{2}$;

$y’ = (x)’ + 4 \left( \cos \frac{x}{2} \right)’ = 1 + 4 \cdot \left( -\frac{1}{2} \sin \frac{x}{2} \right) = 1 — 2 \sin \frac{x}{2}$;

Промежуток убывания:

$$1 — 2 \sin \frac{x}{2} \leq 0;$$ $$2 \sin \frac{x}{2} \geq 1;$$ $$\sin \frac{x}{2} \geq \frac{1}{2};$$ $$\frac{\pi}{6} + 2\pi n \leq \frac{x}{2} \leq \frac{5\pi}{6} + 2\pi n;$$ $$\frac{\pi}{3} + 4\pi n \leq x \leq \frac{5\pi}{3} + 4\pi n;$$

Ответ: возрастает на $\left[-\frac{7\pi}{3} + 4\pi n; \frac{\pi}{3} + 4\pi n\right]$;

убывает на $\left[\frac{\pi}{3} + 4\pi n; \frac{5\pi}{3} + 4\pi n\right]$;

$x = \frac{\pi}{3} + 4\pi n$ — точки максимума;

$x = \frac{5\pi}{3} + 4\pi n$ — точки минимума.

а) $y = x — \sin 2x$

Нахождение производной функции:

Для начала найдем производную функции $y = x — \sin 2x$.

• Производная $x$ равна 1.
• Производная $\sin 2x$ с использованием цепного правила: $(\sin 2x)’ = 2 \cos 2x$.

Таким образом, производная функции $y$ будет:

$$y’ = (x)’ — (\sin 2x)’ = 1 — 2 \cos 2x.$$

Анализ знака производной и нахождение промежутков убывания и возрастания:

Функция будет возрастать, когда производная $y’$ будет больше или равна нулю, и убывать, когда она будет меньше или равна нулю. То есть, нам нужно решить неравенство:

$$y’ = 1 — 2 \cos 2x \geq 0 \quad \text{и} \quad y’ = 1 — 2 \cos 2x \leq 0.$$

Для анализа промежутков возрастания и убывания решим каждое из этих неравенств.

Промежуток убывания:

$$1 — 2 \cos 2x \leq 0.$$

Перепишем неравенство:

$$2 \cos 2x \geq 1.$$

Разделим обе стороны на 2:

$$\cos 2x \geq \frac{1}{2}.$$

Это неравенство выполняется, когда:

$$2x \in \left[ -\frac{\pi}{3} + 2\pi n; \frac{\pi}{3} + 2\pi n \right], \quad n \in \mathbb{Z}.$$

Поделим обе стороны на 2:

$$x \in \left[ -\frac{\pi}{6} + \pi n; \frac{\pi}{6} + \pi n \right], \quad n \in \mathbb{Z}.$$

Таким образом, промежуток убывания:

$$x \in \left[ -\frac{\pi}{6} + \pi n; \frac{\pi}{6} + \pi n \right].$$

Промежуток возрастания:
На промежутке $x \in \left[ \frac{\pi}{6} + \pi n; \frac{5\pi}{6} + \pi n \right]$, производная будет положительной, так как $\cos 2x$ меньше $\frac{1}{2}$.

Точки экстремума:

Точки экстремума находятся на границе промежутков, где функция изменяет знак производной:

• $x = -\frac{\pi}{6} + \pi n$ — точка максимума, так как производная меняет знак с положительного на отрицательное;
• $x = \frac{\pi}{6} + \pi n$ — точка минимума, так как производная меняет знак с отрицательного на положительное.

Ответ:

• Функция возрастает на $\left[ \frac{\pi}{6} + \pi n; \frac{5\pi}{6} + \pi n \right]$;
• Функция убывает на $\left[ -\frac{\pi}{6} + \pi n; \frac{\pi}{6} + \pi n \right]$;
• Точки максимума: $x = -\frac{\pi}{6} + \pi n$;
• Точки минимума: $x = \frac{\pi}{6} + \pi n$.

б) $y = x + 4 \cos \frac{x}{2}$

Нахождение производной функции:

Для функции $y = x + 4 \cos \frac{x}{2}$ используем стандартные правила дифференцирования:

• Производная $x$ равна 1.
• Производная $\cos \frac{x}{2}$ с использованием цепного правила: $\left( \cos \frac{x}{2} \right)’ = -\frac{1}{2} \sin \frac{x}{2}$.

Таким образом, производная функции $y$ будет:

$$y’ = (x)’ + 4 \left( \cos \frac{x}{2} \right)’ = 1 + 4 \cdot \left( -\frac{1}{2} \sin \frac{x}{2} \right) = 1 — 2 \sin \frac{x}{2}.$$

Анализ знака производной и нахождение промежутков убывания и возрастания:

Решим неравенства $y’ \geq 0$ и $y’ \leq 0$.

Промежуток убывания:

$$1 — 2 \sin \frac{x}{2} \leq 0.$$

Перепишем неравенство:

$$2 \sin \frac{x}{2} \geq 1.$$

Разделим обе стороны на 2:

$$\sin \frac{x}{2} \geq \frac{1}{2}.$$

Это неравенство выполняется, когда:

$$\frac{x}{2} \in \left[ \frac{\pi}{6} + 2\pi n; \frac{5\pi}{6} + 2\pi n \right], \quad n \in \mathbb{Z}.$$

Умножим обе стороны на 2:

$$x \in \left[ \frac{\pi}{3} + 4\pi n; \frac{5\pi}{3} + 4\pi n \right], \quad n \in \mathbb{Z}.$$

Таким образом, промежуток убывания:

$$x \in \left[ \frac{\pi}{3} + 4\pi n; \frac{5\pi}{3} + 4\pi n \right].$$

Промежуток возрастания:
Функция возрастает на промежутке, где $\sin \frac{x}{2} \leq \frac{1}{2}$. Это неравенство выполняется на интервале:

$$x \in \left[ -\frac{7\pi}{3} + 4\pi n; \frac{\pi}{3} + 4\pi n \right], \quad n \in \mathbb{Z}.$$

Точки экстремума:

Точки экстремума находятся на границе промежутков, где функция изменяет знак производной:

• $x = \frac{\pi}{3} + 4\pi n$ — точка максимума, так как производная меняет знак с положительного на отрицательное;
• $x = \frac{5\pi}{3} + 4\pi n$ — точка минимума, так как производная меняет знак с отрицательного на положительное.

Ответ:

• Функция возрастает на $\left[ -\frac{7\pi}{3} + 4\pi n; \frac{\pi}{3} + 4\pi n \right]$;
• Функция убывает на $\left[ \frac{\pi}{3} + 4\pi n; \frac{5\pi}{3} + 4\pi n \right]$;
• Точки максимума: $x = \frac{\pi}{3} + 4\pi n$;
• Точки минимума: $x = \frac{5\pi}{3} + 4\pi n$.