ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 44.61 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Исследуйте функцию на монотонность и экстремумы:

а) $y = |x — 3| — 2$

б) $y = \left| \frac{1}{x} — 1 \right|$

в) $y = |(x — 2)(x + 3)|$

г) $y=(\mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }-2)x\mathrm{\mid }$

а) $y = |x — 3| — 2$

$x — 3 \geq 0$, отсюда $x \geq 3$;

По определению модуля числа:

$$y = \begin{cases} x — 3 — 2, & \text{если } x \geq 3 \\ -x + 3 — 2, & \text{если } x < 3 \end{cases};$$

Первая функция:

$$y’ = (x)’ — (3 + 2)’ = 1 — 0 = 1;$$

Вторая функция:

$$y’ = -(x)’ + (3 — 2)’ = -1 + 0 = -1;$$

Ответ: возрастает на $[3; +\infty)$ и убывает на $(-\infty; 3]$;
$x = 3$ — точка минимума.

б) $y = \left| \frac{1}{x} — 1 \right|$

$\frac{1}{x} — 1 \geq 0$;
$x — x^2 \geq 0$;
$x(1 — x) \geq 0$;
$0 \leq x \leq 1$;

По определению модуля числа:

$$y = \begin{cases} \frac{1}{x} — 1, & \text{если } 0 \leq x \leq 1 \\ 1 — \frac{1}{x}, & \text{если } x < 0 \text{ или } x > 1 \end{cases};$$

Первая функция:

$$y’ = \left( \frac{1}{x} \right)’ — (1)’ = -\frac{1}{x^2} — 0 = -\frac{1}{x^2};$$

$x^2 \geq 0$, значит $y’ < 0$ при любом значении $x$;

Вторая функция:

$$y’ = (1)’ — \left( \frac{1}{x} \right)’ = 0 — \left( -\frac{1}{x^2} \right) = \frac{1}{x^2};$$

$x^2 \geq 0$, значит $y’ > 0$ при любом значении $x$;

Выражение имеет смысл при: $x \neq 0$;

Ответ: возрастает на $(-\infty; 0) \cup [1; +\infty)$ и убывает на $(0; 1]$;
$x = 1$ — точка минимума.

в) $y = |(x — 2)(x + 3)|$

$(x + 3)(x — 2) \geq 0$;
$x \leq -3$ или $x \geq 2$;

По определению модуля числа:

$$y = \begin{cases} (x — 2)(x + 3), & \text{если } x \leq -3 \text{ или } x \geq 2 \\ -(x — 2)(x + 3), & \text{если } -3 < x < 2 \end{cases};$$

Первая функция:

$$y = x^2 + 3x — 2x + 1 = x^2 + x + 1;$$ $$y’ = (x^2)’ + (x + 1)’ = 2x + 1;$$

Промежуток возрастания:

$$2x + 1 \geq 0; \quad 2x \geq -1, \text{ отсюда } x \geq -\frac{1}{2};$$

Вторая функция:

$$y = -x^2 — 3x + 2x — 1 = -x^2 — x — 1;$$ $$y’ = -(x^2)’ — (x + 1)’ = -2x — 1;$$

Промежуток возрастания:

$$-2x — 1 \geq 0; \quad -1 \geq 2x, \text{ отсюда } x \leq -\frac{1}{2};$$

Ответ: возрастает на $[-3; -\frac{1}{2}] \cup [2; +\infty)$;
убывает на $(-\infty; -3] \cup [-\frac{1}{2}; 2]$;
$x = -\frac{1}{2}$ — точка максимума;
$x = -3$ и $x = 2$ — точки минимума.

г) $y = (|x| — 2)x|$

По определению модуля числа:

$$y = \begin{cases} (x — 2)x, & \text{если } x \geq 0 \\ -x(-x — 2), & \text{если } x < 0 \end{cases};$$

Первая функция:

$$y = x^2 — 2x;$$ $$y’ = (x^2)’ — (2x)’ = 2x — 2;$$

Промежуток возрастания:

$$2x — 2 \geq 0; \quad 2x \geq 2, \text{ отсюда } x \geq 1;$$

Вторая функция:

$$y = x^2 + 2x;$$ $$y’ = (x^2)’ + (2x)’ = 2x + 2;$$

Промежуток возрастания:

$$2x + 2 \geq 0; \quad 2x \geq -2, \text{ отсюда } x \geq -1;$$

Ответ: возрастает на $[-1; 0] \cup [1; +\infty)$;
убывает на $(-\infty; -1] \cup [0; 1]$;
$x = 0$ — точка максимума;
$x = -1$ и $x = 1$ — точки минимума.

а) $y = |x — 3| — 2$

1) Определение промежутков для модуля:

Рассмотрим выражение $|x — 3|$. Модуль выражения равен:

$$|x — 3| = \begin{cases} x — 3, & \text{если } x \geq 3, \\ -(x — 3) = 3 — x, & \text{если } x < 3. \end{cases}$$

Таким образом, мы разбиваем функцию на два случая:

• Если $x \geq 3$, то $y = (x — 3) — 2 = x — 5$;
• Если $x < 3$, то $y = (3 — x) — 2 = 1 — x$.

2) Нахождение производных для обеих функций:

• Для функции $y = x — 5$ (если $x \geq 3$):

  Производная:

  $$y’ = (x — 5)’ = 1.$$

  Это постоянная величина, и функция возрастает с постоянной скоростью.

• Для функции $y = 1 — x$ (если $x < 3$):

  Производная:

  $$y’ = (1 — x)’ = -1.$$

  Это тоже постоянная величина, и функция убывает с постоянной скоростью.

3) Определение промежутков возрастания и убывания:

• Функция $y = x — 5$ возрастает, так как производная равна 1. То есть она возрастает на интервале $[3; +\infty)$.
• Функция $y = 1 — x$ убывает, так как производная равна -1. То есть она убывает на интервале $(-\infty; 3]$.

4) Точки экстремума:

• Функция $y = |x — 3| — 2$ имеет минимум в точке $x = 3$, так как:
  • При $x \geq 3$ функция возрастает;
  • При $x < 3$ функция убывает.

Ответ:

• Функция возрастает на $[3; +\infty)$ и убывает на $(-\infty; 3]$;
• Точка минимума: $x = 3$.

б) $y = \left| \frac{1}{x} — 1 \right|$

1) Определение промежутков для модуля:

Рассмотрим выражение $\left| \frac{1}{x} — 1 \right|$. Модуль выражения равен:

$$\left| \frac{1}{x} — 1 \right| = \begin{cases} \frac{1}{x} — 1, & \text{если } \frac{1}{x} — 1 \geq 0 \quad \text{или} \quad x \geq 1, \\ 1 — \frac{1}{x}, & \text{если } \frac{1}{x} — 1 < 0 \quad \text{или} \quad 0 < x < 1. \end{cases}$$

Для более точного понимания, рассмотрим неравенство $\frac{1}{x} — 1 \geq 0$:

$$\frac{1}{x} \geq 1 \quad \Rightarrow \quad x \leq 1.$$

Следовательно, $x \in (0, 1]$, то есть $y = \frac{1}{x} — 1$ для $x \in [1; +\infty)$, и $y = 1 — \frac{1}{x}$ для $x \in (0; 1)$.

2) Нахождение производных для обеих функций:

• Для функции $y = \frac{1}{x} — 1$ (если $x > 1$):

  Производная:

  $$y’ = \left( \frac{1}{x} \right)’ = -\frac{1}{x^2}.$$

  Поскольку $x^2 > 0$, то $y’ < 0$, то есть функция убывает на интервале $(0, 1]$.

• Для функции $y = 1 — \frac{1}{x}$ (если $0 < x < 1$):

  Производная:

  $$y’ = -\left( \frac{1}{x} \right)’ = \frac{1}{x^2}.$$

  Поскольку $x^2 > 0$, то $y’ > 0$, то есть функция возрастает на интервале $(0, 1)$.

3) Определение промежутков возрастания и убывания:

• Функция возрастает на интервале $(0, 1)$, так как производная $y’ > 0$.
• Функция убывает на интервале $(1, +\infty)$, так как производная $y’ < 0$.

4) Точки экстремума:

• Функция имеет минимум в точке $x = 1$, так как при $x > 1$ функция убывает, а при $x < 1$ она возрастает.

Ответ:

• Функция возрастает на $(0, 1]$ и убывает на $(1, +\infty)$;
• Точка минимума: $x = 1$.

в) $y = |(x — 2)(x + 3)|$

1) Определение промежутков для модуля:

Рассмотрим выражение $|(x — 2)(x + 3)|$. Модуль выражения равен:

$$|(x — 2)(x + 3)| = \begin{cases} (x — 2)(x + 3), & \text{если } (x — 2)(x + 3) \geq 0, \\ -(x — 2)(x + 3), & \text{если } (x — 2)(x + 3) < 0. \end{cases}$$

Для того чтобы решить неравенство $(x — 2)(x + 3) \geq 0$, рассматриваем корни уравнения $(x — 2)(x + 3) = 0$, которые равны $x = 2$ и $x = -3$. Неравенство выполняется, когда:

$$x \leq -3 \quad \text{или} \quad x \geq 2.$$

Таким образом, функция будет иметь два случая:

• Если $x \leq -3$ или $x \geq 2$, то $y = (x — 2)(x + 3)$;
• Если $-3 < x < 2$, то $y = -(x — 2)(x + 3)$.

2) Нахождение производных для обеих функций:

• Для функции $y = (x — 2)(x + 3)$ (если $x \leq -3$ или $x \geq 2$):

  Раскроем скобки:

  $$y = x^2 + x — 6.$$

  Производная:

  $$y’ = (x^2)’ + (x)’ — (6)’ = 2x + 1.$$

  Промежуток возрастания:

  $$2x + 1 \geq 0 \quad \Rightarrow \quad x \geq -\frac{1}{2}.$$

• Для функции $y = -(x — 2)(x + 3)$ (если $-3 < x < 2$):

  Раскроем скобки:

  $$y = -x^2 — x + 6.$$

  Производная:

  $$y’ = -(x^2)’ — (x)’ + (6)’ = -2x — 1.$$

  Промежуток возрастания:

  $$-2x — 1 \geq 0 \quad \Rightarrow \quad x \leq -\frac{1}{2}.$$

3) Определение промежутков возрастания и убывания:

• Функция $y = x^2 + x — 6$ возрастает при $x \geq -\frac{1}{2}$.
• Функция $y = -x^2 — x + 6$ возрастает при $x \leq -\frac{1}{2}$.

4) Точки экстремума:

• Максимум функции $y = |(x — 2)(x + 3)|$ находится в точке $x = -\frac{1}{2}$, так как при $x < -\frac{1}{2}$ функция убывает, а при $x > -\frac{1}{2}$ она возрастает.
• Минимум функции происходит в точках $x = -3$ и $x = 2$, так как здесь меняется знак функции.

Ответ:

• Функция возрастает на $[-3; -\frac{1}{2}] \cup [2; +\infty)$;
• Функция убывает на $(-\infty; -3] \cup [-\frac{1}{2}; 2]$;
• Точка максимума: $x = -\frac{1}{2}$;
• Точки минимума: $x = -3$ и $x = 2$.

г) $y = (|x| — 2)x|$

1) Определение промежутков для модуля:

Рассмотрим выражение $(|x| — 2)x$. Модуль выражения $|x|$ равен:

$$|x| = \begin{cases} x, & \text{если } x \geq 0, \\ -x, & \text{если } x < 0. \end{cases}$$

Таким образом, функция будет разбита на два случая:

• Если $x \geq 0$, то $y = (x — 2)x$;
• Если $x < 0$, то $y = (-x — 2)x$.

2) Нахождение производных для обеих функций:

• Для функции $y = (x — 2)x$ (если $x \geq 0$):

  Раскроем скобки:

  $$y = x^2 — 2x.$$

  Производная:

  $$y’ = (x^2)’ — (2x)’ = 2x — 2.$$

  Промежуток возрастания:

  $$2x — 2 \geq 0 \quad \Rightarrow \quad x \geq 1.$$

• Для функции $y = (-x — 2)x$ (если $x < 0$):

  Раскроем скобки:

  $$y = -x^2 — 2x.$$

  Производная:

  $$y’ = -(x^2)’ — (2x)’ = -2x — 2.$$

  Промежуток возрастания:

  $$-2x — 2 \geq 0 \quad \Rightarrow \quad x \leq -1.$$

3) Определение промежутков возрастания и убывания:

• Функция возрастает на интервале $[-1; 0] \cup [1; +\infty)$, так как производные положительны на этих интервалах.
• Функция убывает на интервале $(-\infty; -1] \cup [0; 1]$, так как производные отрицательны на этих интервалах.

4) Точки экстремума:

• Максимум функции $y = (|x| — 2)x$ находится в точке $x = 0$.
• Минимумы функции происходят в точках $x = -1$ и $x = 1$.

Ответ:

• Функция возрастает на $[-1; 0] \cup [1; +\infty)$;
• Функция убывает на $(-\infty; -1] \cup [0; 1]$;
• Точка максимума: $x = 0$;
• Точки минимума: $x = -1$ и $x = 1$.