ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 44.63 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Исследуйте функцию на монотонность и экстремумы и постройте ее график:

а) $y = 3x^2 — 4x + 5$;

б) $y = 3 + 2x — x^2$;

в) $y = 7 — x — 2x^2$;

г) $y=5x^2-15x-4$

а) $y = 3x^2 — 4x + 5$;

$y’ = 3(x^2)’ — (4x + 5)’ = 3 \cdot 2x — 4 = 6x — 4;$

Промежуток возрастания:
$6x — 4 \geq 0;$
$6x \geq 4, \text{ отсюда } x \geq \frac{2}{3};$

Вершина функции:
$y\left(\frac{2}{3}\right) = 3 \cdot \frac{4}{9} — 4 \cdot \frac{2}{3} + 5 = \frac{12 — 24 + 45}{9} = \frac{33}{9} = 3 \frac{6}{9} = 3 \frac{2}{3};$

Некоторые точки:

$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline x & -1 & 0 & 1 & 2 \\ \hline y & 12 & 5 & 4 & 9 \\ \hline \end{array}$$

График функции:

Ответ: возрастает на $\left[\frac{2}{3}; +\infty\right)$ и убывает на $\left(-\infty; \frac{2}{3}\right]$;
$x = \frac{2}{3} \text{ — точка минимума.}$

б) $y = 3 + 2x — x^2$;

$y’ = (3 + 2x)’ — (x^2)’ = 2 — 2x;$

Промежуток возрастания:
$2 — 2x \geq 0;$
$2 \geq 2x, \text{ отсюда } x \leq 1;$

Вершина функции:
$y(1) = 3 + 2 \cdot 1 — 1^2 = 3 + 2 — 1 = 4;$

Некоторые точки:

$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline x & -2 & -1 & 0 & 2 & 3 & 4 \\ \hline y & -5 & 0 & 3 & 3 & 0 & -5 \\ \hline \end{array}$$

График функции:

Ответ: возрастает на $(-∞; 1]$ и убывает на $[1; +∞)$;
$x = 1 \text{ — точка максимума.}$

в) $y = 7 — x — 2x^2$;

$y’ = (7 — x)’ — 2(x^2)’ = -1 — 2 \cdot 2x = -1 — 4x;$

Промежуток возрастания:
$-1 — 4x \geq 0;$
$-1 \geq 4x, \text{ отсюда } x \leq -\frac{1}{4};$

Вершина функции:
$y(-0,25) = 7 + \frac{1}{4} — 2 \cdot \frac{1}{16} = \frac{112 + 4 — 2}{16} = \frac{114}{16} = 7 \frac{2}{16} = 7 \frac{1}{8};$

Некоторые точки:

$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline x & -2 & -1 & 0 & 1 & 2 \\ \hline y & 1 & 6 & 7 & 4 & -3 \\ \hline \end{array}$$

График функции:

Ответ: возрастает на $\left(-\infty; -\frac{1}{4}\right]$ и убывает на $\left[-\frac{1}{4}; +\infty\right)$;
$x = -\frac{1}{4} \text{ — точка максимума.}$

г) $y = 5x^2 — 15x — 4$;

$y’ = 5(x^2)’ — (15x — 4)’ = 5 \cdot 2x — 15 = 10x — 15;$

Промежуток возрастания:
$10x — 15 \geq 0;$
$10x \geq 15, \text{ отсюда } x \geq 1,5;$

Вершина функции:
$y(1,5) = 5 \cdot 2,25 — 15 \cdot 1,5 — 4 = 11,25 — 22,5 — 4 = -15,25;$

Некоторые точки:

$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline x & 0 & 1 & 2 & 3 \\ \hline y & -4 & -14 & -14 & -4 \\ \hline \end{array}$$

График функции:

Ответ: возрастает на $[1,5; +\infty)$ и убывает на $(-∞; 1,5]$;
$x = 1,5 \text{ — точка минимума.}$

а) $y = 3x^2 — 4x + 5$

1. Нахождение производной:

Для начала найдем первую производную функции $y$. Мы применяем правила дифференцирования для каждого слагаемого по отдельности:

$$y’ = 3(x^2)’ — (4x)’ + (5)’$$ $$= 3 \cdot 2x — 4 = 6x — 4$$

Таким образом, производная функции $y$ равна:

$$y’ = 6x — 4$$

2. Промежуток возрастания:

Для того чтобы найти промежутки возрастания и убывания функции, мы должны изучить знак первой производной. Для этого решим неравенство:

$$y’ = 6x — 4 \geq 0$$

Решим это неравенство:

$$6x \geq 4$$ $$x \geq \frac{2}{3}$$

Таким образом, функция возрастает на промежутке $\left[ \frac{2}{3}; +\infty \right)$.

3. Вершина функции:

Вершина функции находится в точке, где первая производная равна нулю. Мы уже нашли производную, и приравняем её к нулю:

$$6x — 4 = 0$$ $$6x = 4$$ $$x = \frac{2}{3}$$

Теперь найдем значение функции в точке $x = \frac{2}{3}$:

$$y\left(\frac{2}{3}\right) = 3 \cdot \left(\frac{2}{3}\right)^2 — 4 \cdot \frac{2}{3} + 5$$ $$y\left(\frac{2}{3}\right) = 3 \cdot \frac{4}{9} — \frac{8}{3} + 5$$

Приводим к общему знаменателю (9):

$$y\left(\frac{2}{3}\right) = \frac{12}{9} — \frac{24}{9} + \frac{45}{9} = \frac{33}{9} = 3 \frac{6}{9} = 3 \frac{2}{3}$$

Итак, вершина функции находится в точке $x = \frac{2}{3}$, и значение функции в этой точке равно $y = 3 \frac{2}{3}$.

4. Некоторые точки функции:

Для получения графика функции определим значения функции для нескольких значений $x$.

Подставляем значения $x = -1, 0, 1, 2$ в исходное уравнение функции:

$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline x & -1 & 0 & 1 & 2 \\ \hline y & 12 & 5 & 4 & 9 \\ \hline \end{array}$$

5. График функции:

Функция имеет вид параболы, ветви которой направлены вверх, так как коэффициент при $x^2$ положителен. Вершина функции — это точка минимума, а на промежутке $\left[ \frac{2}{3}; +\infty \right)$ она возрастает, а на промежутке $\left( -\infty; \frac{2}{3} \right]$ убывает.

Ответ:

• Функция возрастает на $\left[\frac{2}{3}; +\infty \right)$.
• Функция убывает на $\left( -\infty; \frac{2}{3} \right]$.
• Точка минимума: $x = \frac{2}{3}$.

б) $y = 3 + 2x — x^2$

1. Нахождение производной:

Найдем производную функции $y$:

$$y’ = (3 + 2x)’ — (x^2)’$$ $$= 0 + 2 — 2x$$ $$y’ = 2 — 2x$$

2. Промежуток возрастания:

Решим неравенство для первой производной:

$$y’ = 2 — 2x \geq 0$$ $$2 \geq 2x$$ $$x \leq 1$$

Таким образом, функция возрастает на промежутке $(-\infty; 1]$.

3. Вершина функции:

Для нахождения вершины приравняем первую производную к нулю:

$$2 — 2x = 0$$ $$x = 1$$

Теперь найдем значение функции в точке $x = 1$:

$$y(1) = 3 + 2 \cdot 1 — 1^2 = 3 + 2 — 1 = 4$$

Итак, вершина функции находится в точке $x = 1$, и значение функции в этой точке равно $y = 4$.

4. Некоторые точки функции:

Определим значения функции для $x = -2, -1, 0, 2, 3, 4$:

$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline x & -2 & -1 & 0 & 2 & 3 & 4 \\ \hline y & -5 & 0 & 3 & 3 & 0 & -5 \\ \hline \end{array}$$

5. График функции:

Функция имеет вид параболы, ветви которой направлены вниз, так как коэффициент при $x^2$ отрицателен. Вершина функции — это точка максимума, а на промежутке $(-\infty; 1]$ функция возрастает, а на промежутке $[1; +\infty)$ убывает.

Ответ:

• Функция возрастает на $(-\infty; 1]$.
• Функция убывает на $[1; +\infty)$.
• Точка максимума: $x = 1$.

в) $y = 7 — x — 2x^2$

1. Нахождение производной:

Найдем производную функции $y$:

$$y’ = (7 — x)’ — 2(x^2)’$$ $$= -1 — 4x$$ $$y’ = -1 — 4x$$

2. Промежуток возрастания:

Решим неравенство для первой производной:

$$y’ = -1 — 4x \geq 0$$ $$-1 \geq 4x$$ $$x \leq -\frac{1}{4}$$

Таким образом, функция возрастает на промежутке $(-\infty; -\frac{1}{4}]$.

3. Вершина функции:

Приравняем первую производную к нулю, чтобы найти точку вершины:

$$-1 — 4x = 0$$ $$4x = -1$$ $$x = -\frac{1}{4}$$

Теперь найдем значение функции в точке $x = -\frac{1}{4}$:

$$y\left(-\frac{1}{4}\right) = 7 — \left(-\frac{1}{4}\right) — 2 \cdot \left(-\frac{1}{4}\right)^2$$ $$y\left(-\frac{1}{4}\right) = 7 + \frac{1}{4} — 2 \cdot \frac{1}{16}$$ $$y\left(-\frac{1}{4}\right) = 7 + \frac{1}{4} — \frac{2}{16} = 7 + \frac{1}{4} — \frac{1}{8}$$

Приводим к общему знаменателю (8):

$$y\left(-\frac{1}{4}\right) = \frac{56}{8} + \frac{2}{8} — \frac{1}{8} = \frac{57}{8} = 7 \frac{1}{8}$$

4. Некоторые точки функции:

Определим значения функции для $x = -2, -1, 0, 1, 2$:

$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline x & -2 & -1 & 0 & 1 & 2 \\ \hline y & 1 & 6 & 7 & 4 & -3 \\ \hline \end{array}$$

5. График функции:

Функция имеет вид параболы, ветви которой направлены вниз. Вершина функции — это точка максимума, а на промежутке $(-\infty; -\frac{1}{4}]$ функция возрастает, а на промежутке $[-\frac{1}{4}; +\infty)$ убывает.

Ответ:

• Функция возрастает на $(-\infty; -\frac{1}{4}]$.
• Функция убывает на $[-\frac{1}{4}; +\infty)$.
• Точка максимума: $x = -\frac{1}{4}$.

г) $y = 5x^2 — 15x — 4$

1. Нахождение производной:

Найдем производную функции $y$:

$$y’ = 5(x^2)’ — (15x — 4)’$$ $$= 5 \cdot 2x — 15$$ $$y’ = 10x — 15$$

2. Промежуток возрастания:

Решим неравенство для первой производной:

$$y’ = 10x — 15 \geq 0$$ $$10x \geq 15$$ $$x \geq 1.5$$

Таким образом, функция возрастает на промежутке $[1.5; +\infty)$.

3. Вершина функции:

Приравняем первую производную к нулю, чтобы найти точку вершины:

$$10x — 15 = 0$$ $$x = 1.5$$

Теперь найдем значение функции в точке $x = 1.5$:

$$y(1.5) = 5 \cdot (1.5)^2 — 15 \cdot 1.5 — 4$$ $$y(1.5) = 5 \cdot 2.25 — 15 \cdot 1.5 — 4$$ $$y(1.5) = 11.25 — 22.5 — 4 = -15.25$$

4. Некоторые точки функции:

Определим значения функции для $x = 0, 1, 2, 3$:

$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline x & 0 & 1 & 2 & 3 \\ \hline y & -4 & -14 & -14 & -4 \\ \hline \end{array}$$

5. График функции:

Функция имеет вид параболы, ветви которой направлены вверх. Вершина функции — это точка минимума, а на промежутке $[1.5; +\infty)$ она возрастает, а на промежутке $(-\infty; 1.5]$ убывает.

Ответ:

• Функция возрастает на $[1.5; +\infty)$.
• Функция убывает на $(-\infty; 1.5]$.
• Точка минимума: $x = 1.5$.