ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 44.64 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Исследуйте функцию на монотонность и экстремумы и постройте ее график:

а) $y = 3x^2 — x^3$;

б) $y = 6x + x^3$;

в) $y = x^3 + 3x^2$;

г) $y = 3x — x^3$

а) $y = 3x^2 — x^3$;

$y’ = 3(x^2)’ — (x^3)’ = 3 \cdot 2x — 3x^2 = 6x — 3x^2;$

Промежуток возрастания:
$6x — 3x^2 \geq 0;$
$3x(2 — x) \geq 0;$
$0 \leq x \leq 2;$

Вершины функции:
$y(0) = 3 \cdot 0^2 — 0^3 = 0;$
$y(2) = 3 \cdot 2^2 — 2^3 = 3 \cdot 4 — 8 = 12 — 8 = 4;$

Некоторые точки:

$$\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline x & -1 & 1 & 3 \\ \hline y & 4 & 2 & 0 \\ \hline \end{array}$$

График функции:

Ответ: возрастает на $[0; 2]$ и убывает на $(-∞; 0] \cup [2; +∞)$;
$x = 2 \text{ — точка максимума; }$
$x = 0 \text{ — точка минимума; }$

б) $y = 6x + x^3$;

$y’ = (6x)’ + (x^3)’ = 6 + 3x^2;$

$3x^2 \geq 0$, значит $y’ > 0$ при любом значении $x$;

Некоторые точки:

$$\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline x & -1 & 0 & 1 \\ \hline y & -7 & 0 & 7 \\ \hline \end{array}$$

График функции:

Ответ: возрастает на всей числовой прямой.

в) $y = x^3 + 3x^2$;

$y’ = (x^3)’ + 3(x^2)’ = 3x^2 + 3 \cdot 2x = 3x^2 + 6x;$

Промежуток возрастания:
$3x^2 + 6x \geq 0;$
$3x(x + 2) \geq 0;$
$x \leq -2 \text{ или } x \geq 0;$

Вершины функции:
$y(-2) = (-2)^3 + 3 \cdot (-2)^2 = -8 + 3 \cdot 4 = 12 — 8 = 4;$
$y(0) = 0^3 + 3 \cdot 0^2 = 0;$

Некоторые точки:

$$\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline x & -3 & -1 & 1 \\ \hline y & 0 & 2 & 4 \\ \hline \end{array}$$

График функции:

Ответ: возрастает на $(-∞; -2] \cup [0; +∞)$ и убывает на $[-2; 0]$;
$x = -2 \text{ — точка максимума; }$
$x = 0 \text{ — точка минимума. }$

г) $y = 3x — x^3$;

$y’ = (3x)’ — (x^3)’ = 3 — 3x^2;$

Промежуток возрастания:
$3 — 3x^2 \geq 0;$
$1 — x^2 \geq 0;$
$1 \geq x^2, \text{ отсюда } -1 \leq x \leq 1;$

Вершины функции:
$y(-1) = 3(-1) — (-1)^3 = -3 + 1 = -2;$
$y(1) = 3(1) — 1^3 = 3 — 1 = 2;$

Некоторые точки:

$$\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline x & -2 & 0 & 2 \\ \hline y & 2 & 0 & -2 \\ \hline \end{array}$$

График функции:

Ответ: возрастает на $[-1; 1]$ и убывает на $(-∞; -1] \cup [1; +∞)$;
$x = 1 \text{ — точка максимума; }$
$x = -1 \text{ — точка минимума. }$

а) $y = 3x^2 — x^3$

1. Нахождение производной:

Для начала найдем первую производную функции $y$. Мы применяем правила дифференцирования для каждого слагаемого по отдельности:

$$y = 3x^2 — x^3$$

Дифференцируем:

$$y’ = 3 \cdot (x^2)’ — (x^3)’$$

Применяем стандартные правила дифференцирования:

$$y’ = 3 \cdot 2x — 3x^2 = 6x — 3x^2$$

Таким образом, производная функции $y$ равна:

$$y’ = 6x — 3x^2$$

2. Промежутки возрастания и убывания:

Для того чтобы найти промежутки возрастания и убывания функции, нужно исследовать знак первой производной. Для этого решим неравенство:

$$y’ = 6x — 3x^2 \geq 0$$

Выносим общий множитель $3x$:

$$3x(2 — x) \geq 0$$

Теперь исследуем это произведение на знак. У нас есть два множителя: $3x$ и $(2 — x)$. Мы решаем неравенство поэтапно:

• $3x \geq 0$ при $x \geq 0$
• $2 — x \geq 0$ при $x \leq 2$

Таким образом, неравенство выполняется, когда:

$$0 \leq x \leq 2$$

Это означает, что функция возрастает на промежутке $[0; 2]$.

3. Вершины функции:

Теперь найдем значения функции на концах промежутка $[0; 2]$ для определения максимума и минимума:

• В точке $x = 0$:

$$y(0) = 3 \cdot 0^2 — 0^3 = 0$$

• В точке $x = 2$:

$$y(2) = 3 \cdot 2^2 — 2^3 = 3 \cdot 4 — 8 = 12 — 8 = 4$$

Таким образом, в точке $x = 0$ $y = 0$, а в точке $x = 2$ $y = 4$.

4. Некоторые точки функции:

Для построения графика определим значения функции для нескольких значений $x$:

$$\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline x & -1 & 1 & 3 \\ \hline y & 4 & 2 & 0 \\ \hline \end{array}$$

5. График функции:

Функция $y = 3x^2 — x^3$ представляет собой кубическую функцию, и её график будет иметь форму, напоминающую два поворота: сначала убывающий, затем возрастает, а потом снова убывает. Вершины функции — это точки минимума и максимума.

Ответ:

• Функция возрастает на $[0; 2]$.
• Функция убывает на $(-\infty; 0] \cup [2; +\infty)$.
• Точка максимума: $x = 2$.
• Точка минимума: $x = 0$.

б) $y = 6x + x^3$

1. Нахождение производной:

Найдем первую производную функции:

$$y = 6x + x^3$$

Дифференцируем:

$$y’ = (6x)’ + (x^3)’ = 6 + 3x^2$$

Таким образом, производная функции $y$ равна:

$$y’ = 6 + 3x^2$$

2. Промежутки возрастания и убывания:

Производная $y’ = 6 + 3x^2$ всегда положительна, так как $3x^2 \geq 0$ для всех $x$. Следовательно, производная $y’$ всегда больше нуля, то есть функция возрастает на всей числовой прямой.

Ответ:

• Функция возрастает на всей числовой прямой.

3. Некоторые точки функции:

Для построения графика определим значения функции для нескольких значений $x$:

$$\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline x & -1 & 0 & 1 \\ \hline y & -7 & 0 & 7 \\ \hline \end{array}$$

4. График функции:

Функция $y = 6x + x^3$ является монотонно возрастающей функцией на всей числовой прямой, так как её производная всегда положительна.

Ответ:

• Функция возрастает на всей числовой прямой.

в) $y = x^3 + 3x^2$

1. Нахождение производной:

Найдем первую производную функции:

$$y = x^3 + 3x^2$$

Дифференцируем:

$$y’ = (x^3)’ + 3(x^2)’ = 3x^2 + 6x$$

Таким образом, производная функции $y$ равна:

$$y’ = 3x^2 + 6x$$

2. Промежутки возрастания и убывания:

Для того чтобы найти промежутки возрастания и убывания функции, нужно исследовать знак первой производной. Для этого решим неравенство:

$$y’ = 3x^2 + 6x \geq 0$$

Выносим общий множитель $3x$:

$$3x(x + 2) \geq 0$$

Теперь решим неравенство. У нас есть два множителя: $3x$ и $(x + 2)$. Исследуем знак каждого из множителей:

• $3x \geq 0$ при $x \geq 0$
• $x + 2 \geq 0$ при $x \geq -2$

Таким образом, неравенство выполняется при:

$$x \leq -2 \text{ или } x \geq 0$$

Это означает, что функция возрастает на промежутке $(-\infty; -2] \cup [0; +\infty)$, а убывает на промежутке $[-2; 0]$.

3. Вершины функции:

Теперь найдем значения функции на концах промежутков и в критических точках:

• В точке $x = -2$:

$$y(-2) = (-2)^3 + 3 \cdot (-2)^2 = -8 + 3 \cdot 4 = 12 — 8 = 4$$

• В точке $x = 0$:

$$y(0) = 0^3 + 3 \cdot 0^2 = 0$$

4. Некоторые точки функции:

Для построения графика определим значения функции для нескольких значений $x$:

$$\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline x & -3 & -1 & 1 \\ \hline y & 0 & 2 & 4 \\ \hline \end{array}$$

5. График функции:

Функция $y = x^3 + 3x^2$ является кубической функцией, её график имеет две точки экстремума: одну точку максимума при $x = -2$ и одну точку минимума при $x = 0$.

Ответ:

• Функция возрастает на $(-\infty; -2] \cup [0; +\infty)$.
• Функция убывает на $[-2; 0]$.
• Точка максимума: $x = -2$.
• Точка минимума: $x = 0$.

г) $y = 3x — x^3$

1. Нахождение производной:

Найдем первую производную функции:

$$y = 3x — x^3$$

Дифференцируем:

$$y’ = (3x)’ — (x^3)’ = 3 — 3x^2$$

Таким образом, производная функции $y$ равна:

$$y’ = 3 — 3x^2$$

2. Промежутки возрастания и убывания:

Для того чтобы найти промежутки возрастания и убывания функции, нужно исследовать знак первой производной. Для этого решим неравенство:

$$y’ = 3 — 3x^2 \geq 0$$

Решим неравенство:

$$1 — x^2 \geq 0$$ $$1 \geq x^2$$ $$-1 \leq x \leq 1$$

Это означает, что функция возрастает на промежутке $[-1; 1]$ и убывает на промежутках $(-\infty; -1] \cup [1; +\infty)$.

3. Вершины функции:

Теперь найдем значения функции в точках, где производная равна нулю:

• В точке $x = -1$:

$$y(-1) = 3(-1) — (-1)^3 = -3 + 1 = -2$$

• В точке $x = 1$:

$$y(1) = 3(1) — 1^3 = 3 — 1 = 2$$

4. Некоторые точки функции:

Для построения графика определим значения функции для нескольких значений $x$:

$$\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline x & -2 & 0 & 2 \\ \hline y & 2 & 0 & -2 \\ \hline \end{array}$$

5. График функции:

Функция $y = 3x — x^3$ является кубической функцией с двумя точками экстремума: одна точка максимума при $x = 1$ и одна точка минимума при $x = -1$.

Ответ:

• Функция возрастает на $[-1; 1]$.
• Функция убывает на $(-\infty; -1] \cup [1; +\infty)$.
• Точка максимума: $x = 1$.
• Точка минимума: $x = -1$.