ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 44.66 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Исследуйте функцию на монотонность и экстремумы и постройте ее график:

а) $y=2x^3+x^2-2x-1$;

б) $y=-\frac{x^3}{3}+x^2+3x-\frac{11}{3}$;

в) $y=x^3+x^2-x-1$;

г) $y=\frac{x^3}{3}+x^2-3x+\frac{5}{3}$

а) $y=2x^3+x^2-2x-1$;

$y^{\mathrm{\prime }}=2(x^3{)}^{\mathrm{\prime }}+(x^2{)}^{\mathrm{\prime }}-(2x+1{)}^{\mathrm{\prime }}$;
$y^{\mathrm{\prime }}=2\cdot 3x^2+2x-2=6x^2+2x-2$;

Промежуток возрастания:
$6x^2+2x-2=0$;
$3x^2+x-1=0$;
$D=1^2+4\cdot 3=1+12=\sqrt{13}$, тогда:
$x=\frac{-1\pm \sqrt{13}}{2\cdot 3}=\frac{-1\pm \sqrt{13}}{6}$;
$x_1\approx \frac{-1-3,6}{6}\approx \frac{-4,6}{6}\approx -0,75$;
$x_2\approx \frac{-1+3,6}{6}\approx \frac{2,6}{6}\approx 0,45$;
$(x+0,75)(x-0,45)\ge 0$;
$x\le -0,75$ или $x\ge 0,45$;

Вершины функции:
$y(-0,75)\approx 2\cdot (-0,42)+0,56+2\cdot 0,75-1\approx 0,2$;
$y(0,45)\approx 2\cdot 0,07+0,2-2\cdot 0,45-1\approx -1,5$;

Некоторые точки:

$$\begin{array}{cccc}x& -1& 0& 1\\ y& 0& -1& 0\end{array}$$

График функции:

Ответ: возрастает на $(-\mathrm{\infty };\frac{-1-\sqrt{13}}{6}]\cup [\frac{-1+\sqrt{13}}{6};+\mathrm{\infty })$;
убывает на $[\frac{-1-\sqrt{13}}{6};\frac{-1+\sqrt{13}}{6}]$;
$x=\frac{-1-\sqrt{13}}{6}$ — точка максимума;
$x=\frac{-1+\sqrt{13}}{6}$ — точка минимума.

б) $y=-\frac{x^3}{3}+x^2+3x-\frac{11}{3}$;

$y^{\mathrm{\prime }}=-\frac{1}{3}(x^3{)}^{\mathrm{\prime }}+(x^2{)}^{\mathrm{\prime }}+{(3x-\frac{11}{3})}^{\mathrm{\prime }}$;
$y^{\mathrm{\prime }}=-\frac{1}{3}\cdot 3x^2+2x+3=-x^2+2x+3$;

Промежуток возрастания:
$-x^2+2x+3=0$;
$D=2^2+4\cdot 3=4+12=16$, тогда:
$x_1=\frac{-2-4}{-2}=3$ и $x_2=\frac{-2+4}{-2}=-1$;
$-(x+1)(x-3)\ge 0$;
$-1\le x\le 3$;

Вершины функции:
$y(-1)=-\frac{1}{3}+1-3-\frac{11}{3}=-\frac{10}{3}-2=-\frac{16}{3}=-5\frac{1}{3}$;
$y(3)=-\frac{27}{3}+9+3\cdot 3-\frac{11}{3}=18-\frac{38}{3}=\frac{16}{3}=5\frac{1}{3}$;

Некоторые точки:

$$\begin{array}{cccccc}x& -3& -2& 1& 4& 5\\ y& 5& -3& 0& 3& -5,3\end{array}$$

График функции:

Ответ: возрастает на $[-1;1]$ и убывает на $(-\mathrm{\infty };-1]\cup [3;+\mathrm{\infty })$;
$x=3$ — точка максимума;
$x=-1$ — точка минимума.

в) $y=x^3+x^2-x-1$;

Промежуток возрастания:
$3x^2+2x-1=0$;
$D=2^2+4\cdot 3=3+12=16$, тогда:
$x_1=\frac{-2-4}{2\cdot 3}=-1$ и $x_2=\frac{-2+4}{2\cdot 3}=\frac{1}{3}$;
$3(x+1)(x-\frac{1}{3})\ge 0$;
$x\le -1$ или $x\ge \frac{1}{3}$;

Вершины функции:
$y(-1)=(-1{)}^3+(-1{)}^2+1-1=-1+1=0$;
$y\left(\frac{1}{3}\right)=\frac{1}{27}+\frac{1}{9}-\frac{1}{3}-1=\frac{1+3-9-27}{27}=-\frac{32}{27}=-1\frac{5}{27}$;

Некоторые точки:

$$\begin{array}{ccccc}x& -2& 0& 1& 2\\ y& -3& -1& 0& 9\end{array}$$

График функции:

Ответ: возрастает на $(-\mathrm{\infty };-1]\cup [\frac{1}{3};+\mathrm{\infty })$ и убывает на $[-1;\frac{1}{3}]$;
$x=-1$ — точка максимума;
$x=\frac{1}{3}$ — точка минимума.

г) $y=\frac{x^3}{3}+x^2-3x+\frac{5}{3}$;

$y^{\mathrm{\prime }}=\frac{1}{3}(x^3{)}^{\mathrm{\prime }}+(x^2{)}^{\mathrm{\prime }}-{(3x-\frac{5}{3})}^{\mathrm{\prime }}$;
$y^{\mathrm{\prime }}=\frac{1}{3}\cdot 3x^2+2x-3=x^2+2x-3$;

Промежуток возрастания:
$x^2+2x-3=0$;
$D=2^2+4\cdot 3=4+12=16$, тогда:
$x_1=\frac{-2-4}{2}=-3$ и $x_2=\frac{-2+4}{2}=1$;

$(x+3)(x-1)\ge 0$;
$x\le -3$ или $x\ge 1$;

Промежуток возрастания:
$x\le -3$ или $x\ge 1$;

Вершины функции:
$y(-3)=-\frac{27}{3}+9+3\cdot 3+\frac{5}{3}=-9+9+9+\frac{5}{3}=9+1\frac{2}{3}=10\frac{2}{3}$;
$y(1)=\frac{1}{3}+1-3+\frac{5}{3}=\frac{6}{3}-2=2-2=0$;

Некоторые точки:

$$\begin{array}{cccc}x& -5& -2& 3\\ y& 0& 9& 10,6\end{array}$$

График функции:

Ответ: возрастает на $(-\mathrm{\infty };-3]\cup [1;+\mathrm{\infty })$ и убывает на $[-3;1]$;
$x=-3$ — точка максимума;
$x=1$ — точка минимума.

а) $y=2x^3+x^2-2x-1$

1. Нахождение производной:

Для начала найдем первую производную функции $y=2x^3+x^2-2x-1$. Используем стандартные правила дифференцирования для каждого слагаемого по отдельности:

• Производная $(x^3)$ по $x$ равна $3x^2$,
• Производная $(x^2)$ по $x$ равна $2x$,
• Производная $-2x$ по $x$ равна $-2$,
• Производная постоянной $-1$ равна $0$.

Применяем эти правила:

$$y^{\mathrm{\prime }}=2\cdot 3x^2+2x-2=6x^2+2x-2$$

2. Промежутки возрастания и убывания:

Для нахождения промежутков возрастания и убывания исследуем знак первой производной $y^{\mathrm{\prime }}=6x^2+2x-2$.

Решим неравенство:

$$6x^2+2x-2=0$$

Разделим все на 2 для упрощения:

$$3x^2+x-1=0$$

Для решения квадратного уравнения используем формулу дискриминанта:

$$D=b^2-4ac=1^2-4\cdot 3\cdot (-1)=1+12=13$$

Корни уравнения находим по формуле:

$$x=\frac{-b\pm \sqrt{D}}{2a}=\frac{-1\pm \sqrt{13}}{6}$$

Приблизительные значения корней:

$$x_1\approx \frac{-1-3.6}{6}\approx \frac{-4.6}{6}\approx -0.75$$$$x_2\approx \frac{-1+3.6}{6}\approx \frac{2.6}{6}\approx 0.45$$

Теперь анализируем знак произведения $(x+0.75)(x-0.45)\ge 0$.

Промежутки, на которых произведение положительное или ноль:

$$x\le -0.75\text{или}x\ge 0.45$$

Таким образом, функция возрастает на промежутке $(-\mathrm{\infty };-0.75]\cup [0.45;+\mathrm{\infty })$ и убывает на промежутке $[-0.75;0.45]$.

3. Вершины функции:

Для нахождения значений функции в точках $x=-0.75$ и $x=0.45$ подставим их в исходное уравнение $y=2x^3+x^2-2x-1$.

• В точке $x=-0.75$:

$$y(-0.75)=2\cdot (-0.75{)}^3+(-0.75{)}^2-2\cdot (-0.75)-1$$$$y(-0.75)\approx 2\cdot (-0.42)+0.56+1.5-1\approx -0.84+0.56+1.5-1\approx 0.2$$

• В точке $x=0.45$:

$$y(0.45)=2\cdot (0.45{)}^3+(0.45{)}^2-2\cdot (0.45)-1$$$$y(0.45)\approx 2\cdot 0.09+0.2-0.9-1\approx 0.18+0.2-0.9-1\approx -1.5$$

4. Некоторые точки функции:

Теперь определим значения функции для нескольких значений $x$:

• Для $x=-1$:

$$y(-1)=2\cdot (-1{)}^3+(-1{)}^2-2\cdot (-1)-1=-2+1+2-1=0$$

• Для $x=0$:

$$y(0)=2\cdot 0^3+0^2-2\cdot 0-1=-1$$

• Для $x=1$:

$$y(1)=2\cdot 1^3+1^2-2\cdot 1-1=2+1-2-1=0$$

Таблица значений:

$$\overline{)\begin{array}{cccc}x& -1& 0& 1\\ y& 0& -1& 0\end{array}}$$

5. График функции:

Функция $y=2x^3+x^2-2x-1$ имеет два экстремума: точку максимума в $x=-0.75$ и точку минимума в $x=0.45$.

Ответ:

• Функция возрастает на $(-\mathrm{\infty };-0.75]\cup [0.45;+\mathrm{\infty })$,
• Функция убывает на $[-0.75;0.45]$,
• Точка максимума: $x=-0.75$,
• Точка минимума: $x=0.45$.

б) $y=-\frac{x^3}{3}+x^2+3x-\frac{11}{3}$

1. Нахождение производной:

Найдем первую производную функции:

$$y^{\mathrm{\prime }}=-\frac{1}{3}(x^3{)}^{\mathrm{\prime }}+(x^2{)}^{\mathrm{\prime }}+{(3x-\frac{11}{3})}^{\mathrm{\prime }}$$$$y^{\mathrm{\prime }}=-\frac{1}{3}\cdot 3x^2+2x+3=-x^2+2x+3$$

2. Промежутки возрастания и убывания:

Теперь исследуем знак производной, решив неравенство $-x^2+2x+3=0$.

Решим это квадратное уравнение:

$$D=2^2+4\cdot 3=4+12=16$$

Корни уравнения:

$$x_1=\frac{-2-4}{-2}=3\text{и}{x}_2=\frac{-2+4}{-2}=-1$$

Таким образом, неравенство $-(x+1)(x-3)\ge 0$ выполняется при $-1\le x\le 3$.

3. Вершины функции:

Теперь найдем значения функции в точках $x=-1$ и $x=3$:

• В точке $x=-1$:

$$y(-1)=-\frac{(-1{)}^3}{3}+(-1{)}^2+3\cdot (-1)-\frac{11}{3}=-\frac{-1}{3}+1-3-\frac{11}{3}=$$

$$=-\frac{10}{3}-2=-\frac{16}{3}=-5\frac{1}{3}$$

• В точке $x=3$:

$$y(3)=-\frac{3^3}{3}+3^2+3\cdot 3-\frac{11}{3}=-\frac{27}{3}+9+9-\frac{11}{3}=18-\frac{38}{3}=\frac{16}{3}=5\frac{1}{3}$$

4. Некоторые точки функции:

Теперь определим значения функции для нескольких значений $x$:

• Для $x=-3$:

$$y(-3)=-\frac{(-3{)}^3}{3}+(-3{)}^2+3\cdot (-3)-\frac{11}{3}=5$$

• Для $x=-2$:

$$y(-2)=-\frac{(-2{)}^3}{3}+(-2{)}^2+3\cdot (-2)-\frac{11}{3}=-3$$

• Для $x=1$:

$$y(1)=-\frac{(1{)}^3}{3}+(1{)}^2+3\cdot (1)-\frac{11}{3}=0$$

• Для $x=4$:

$$y(4)=-\frac{(4{)}^3}{3}+(4{)}^2+3\cdot (4)-\frac{11}{3}=3$$

• Для $x=5$:

$$y(5)=-\frac{(5{)}^3}{3}+(5{)}^2+3\cdot (5)-\frac{11}{3}=-5.3$$

Таблица значений:

$$\overline{)\begin{array}{cccccc}x& -3& -2& 1& 4& 5\\ y& 5& -3& 0& 3& -5.3\end{array}}$$

5. График функции:

Ответ:

• Функция возрастает на $[-1;1]$,
• Функция убывает на $(-\mathrm{\infty };-1]\cup [3;+\mathrm{\infty })$,
• Точка максимума: $x=3$,
• Точка минимума: $x=-1$.

в) $y=x^3+x^2-x-1$

1. Промежуток возрастания:

Для нахождения промежутков возрастания и убывания функции исследуем знак первой производной:

$$3x^2+2x-1=0$$

Решаем уравнение для нахождения корней:

$$D=2^2+4\cdot 3=16$$$$x_1=\frac{-2-4}{6}=-1\text{и}{x}_2=\frac{-2+4}{6}=\frac{1}{3}$$

Применяем метод знаков:

$$3(x+1)(x-\frac{1}{3})\ge 0$$

Промежутки:

$$x\le -1\text{или}x\ge \frac{1}{3}$$

2. Вершины функции:

Теперь вычислим значения функции в точках экстремума $x=-1$ и $x=\frac{1}{3}$:

• В точке $x=-1$:

$$y(-1)=(-1{)}^3+(-1{)}^2+1-1=0$$

• В точке $x=\frac{1}{3}$:

$$y\left(\frac{1}{3}\right)={\left(\frac{1}{3}\right)}^3+{\left(\frac{1}{3}\right)}^2-\frac{1}{3}-1=-\frac{32}{27}\approx -1.18$$

3. Некоторые точки функции:

Таблица значений:

$$\overline{)\begin{array}{ccccc}x& -2& 0& 1& 2\\ y& -3& -1& 0& 9\end{array}}$$

4. График функции:

Ответ:

• Функция возрастает на $(-\mathrm{\infty };-1]\cup [\frac{1}{3};+\mathrm{\infty })$,
• Функция убывает на $[-1;\frac{1}{3}]$,
• Точка максимума: $x=-1$,
• Точка минимума: $x=\frac{1}{3}$.

г) $y=\frac{x^3}{3}+x^2-3x+\frac{5}{3}$

1. Нахождение производной:

Найдем первую производную функции:

$$y^{\mathrm{\prime }}=\frac{1}{3}(x^3{)}^{\mathrm{\prime }}+(x^2{)}^{\mathrm{\prime }}-{(3x-\frac{5}{3})}^{\mathrm{\prime }}$$$$y^{\mathrm{\prime }}=x^2+2x-3$$

2. Промежутки возрастания и убывания:

Для нахождения промежутков возрастания и убывания решим неравенство $x^2+2x-3=0$:

$$D=2^2+4\cdot 3=16$$

Корни уравнения:

$$x_1=\frac{-2-4}{2}=-3\text{и}{x}_2=\frac{-2+4}{2}=1$$

Ответ:

• Функция возрастает на $(-\mathrm{\infty };-3]\cup [1;+\mathrm{\infty })$,
• Функция убывает на $[-3;1]$.

3. Вершины функции:

Вычислим значения функции в точках $x=-3$ и $x=1$:

• В точке $x=-3$:

$$y(-3)=-\frac{27}{3}+9+3\cdot 3+\frac{5}{3}=10\frac{2}{3}$$

• В точке $x=1$:

$$y(1)=\frac{1}{3}+1-3+\frac{5}{3}=0$$

4. Некоторые точки функции:

Таблица значений:

$$\overline{)\begin{array}{cccc}x& -5& -2& 3\\ y& 0& 9& 10.6\end{array}}$$

5. График функции:

Ответ:

• Функция возрастает на $(-\mathrm{\infty };-3]\cup [1;+\mathrm{\infty })$,
• Функция убывает на $[-3;1]$,
• Точка максимума: $x=-3$,
• Точка минимума: $x=1$.