ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 44.67 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Исследуйте функцию на монотонность и экстремумы и постройте ее график:

а) $y = -x^4 + 5x^2 — 4$;

б) $y = x^5 — 5x$;

в) $y = 2x^4 — 9x^2 + 7$;

г) $y = 5x^3 — 3x^5$

а) $y = -x^4 + 5x^2 — 4$;

$y’ = -(x^4)’ + 5(x^2)’ — (4)’$;
$y’ = -4x^3 + 5 \cdot 2x — 0 = 10x — 4x^3$;

Промежуток возрастания:
$10x — 4x^3 \geq 0$;
$x(10 — 4x^2) \geq 0$;
$(\sqrt{10} + 2x) \cdot x \cdot (\sqrt{10} — 2x) \geq 0$;
$x \leq -\frac{\sqrt{10}}{2}$ или $0 \leq x \leq \frac{\sqrt{10}}{2}$;
$x \leq -1,6$ или $0 \leq x \leq 1,6$;

Вершины функции:
$y(\pm 1,6) \approx -6,5 + 5 \cdot 2,6 — 4 \approx -10,5 + 12,8 \approx 2,3$;
$y(0) = -0^4 + 5 \cdot 0^2 — 4 = -4$;

Некоторые точки:

$$\begin{array}{c|c c c c} x & -2 & -1 & 1 & 2 \\ \hline y & 0 & 0 & 0 & 0 \\ \end{array}$$

График функции:

Ответ: возрастает на $\left( -\infty; -\frac{\sqrt{10}}{2} \right] \cup \left[ 0; \frac{\sqrt{10}}{2} \right]$;
убывает на $\left[ -\frac{\sqrt{10}}{2}; 0 \right] \cup \left[ \frac{\sqrt{10}}{2}; +\infty \right)$;
$x = \pm \frac{\sqrt{10}}{2}$ — точки максимума;
$x = 0$ — точка минимума.

б) $y = x^5 — 5x$;

$y’ = (x^5)’ — (5x)’ = 5x^4 — 5$;

Промежуток возрастания:
$5x^4 — 5 \geq 0$;
$x^4 \geq 1$, отсюда $x \leq -1$ или $x \geq 1$;

Вершины функции:
$y(-1) = (-1)^5 — 5 \cdot (-1) = -1 + 5 = 4$;
$y(1) = 1^5 — 5 \cdot 1 = 1 — 5 = -4$;

Некоторые точки:

$$\begin{array}{c|c c c} x & -1,5 & 0 & 1,5 \\ \hline y & 0 & 0 & 0 \\ \end{array}$$

График функции:

Ответ: возрастает на $(-\infty; -1] \cup [1; +\infty)$ и убывает на $[-1; 1]$;
$x = -1$ — точка максимума;
$x = 1$ — точка минимума.

в) $y = 2x^4 — 9x^2 + 7$;

$y’ = 2(x^4)’ — 9(x^2)’ + (7)’$;
$y’ = 2 \cdot 4x^3 — 9 \cdot 2x + 0 = 8x^3 — 18x$;

Промежуток возрастания:
$8x^3 — 18x \geq 0$;
$2x(4x^2 — 9) \geq 0$;
$(2x + 3) \cdot x \cdot (2x — 3) \geq 0$;
$-1,5 \leq x \leq 0$ или $x \geq 1,5$;

Вершины функции:
$y(\pm 1,5) \approx 2 \cdot 5,06 — 9 \cdot 2,25 + 7 \approx 10,1 — 20,25 + 7 \approx -3,15$;
$y(0) = 2 \cdot 0^4 — 9 \cdot 0^2 + 7 = 7$;

Некоторые точки:

$$\begin{array}{c|c c c c} x & -2 & -1 & 1 & 2 \\ \hline y & 3 & 0 & 0 & 3 \\ \end{array}$$

График функции:

Ответ: возрастает на $[-1,5; 0] \cup [1,5; +\infty)$;
убывает на $(-\infty; -1,5] \cup [0; 1,5]$;
$x = 0$ — точка максимума;
$x = \pm 1,5$ — точки минимума.

г) $y = 5x^3 — 3x^5$;

$y’ = 5(x^3)’ — 3(x^5)’ = 5 \cdot 3x^2 — 3 \cdot 5x^4 = 15x^2 — 15x^4$;

Промежуток возрастания:
$15x^2 — 15x^4 \geq 0$;
$x^2 — x^4 \geq 0$;
$x^2(1 — x^2) \geq 0$;
$1 — x^2 \geq 0$;
$1 \geq x^2$, отсюда $-1 \leq x \leq 1$ или $x = 0$;

Вершины функции:
$y(-1) = 5 \cdot (-1)^3 — 3 \cdot (-1)^5 = -5 + 3 = -2$;
$y(1) = 5 \cdot 1^3 — 3 \cdot 1^5 = 5 — 3 = 2$;

Некоторые точки:

$$\begin{array}{c|c c c} x & -1,5 & 0 & 1,5 \\ \hline y & 5,9 & 0 & 5,9 \\ \end{array}$$

График функции:

Ответ: возрастает на $[-1; 1]$ и убывает на $(-\infty; -1] \cup [1; +\infty)$;
$x = 1$ — точка максимума;
$x = -1$ — точка минимума.

а) $y = -x^4 + 5x^2 — 4$

1. Нахождение производной:

Найдем первую производную функции $y = -x^4 + 5x^2 — 4$. Для этого воспользуемся стандартными правилами дифференцирования:

• Производная $x^4$ по $x$ равна $4x^3$,
• Производная $5x^2$ по $x$ равна $10x$,
• Производная постоянной $-4$ равна $0$.

Таким образом, производная будет:

$$y’ = -(x^4)’ + 5(x^2)’ — (4)’ = -4x^3 + 10x$$

Получили первую производную:

$$y’ = -4x^3 + 10x$$

2. Промежутки возрастания и убывания:

Чтобы найти промежутки возрастания и убывания функции, решим неравенство для производной $y’ = -4x^3 + 10x$:

$$-4x^3 + 10x \geq 0$$

Выносим общий множитель $-2x$:

$$-2x(2x^2 — 5) \geq 0$$

Решаем неравенство. Для этого нам нужно решить:

$$x(5 — 2x^2) \geq 0$$

Решаем это неравенство поэтапно:

1. $x \geq 0$ или $x \leq 0$ для множителя $x$,
2. $5 — 2x^2 \geq 0$, то есть $x^2 \leq \frac{5}{2}$, что дает $x \leq \pm \sqrt{\frac{5}{2}} \approx \pm 1.58$.

Итак, получаем промежутки:

$$x \leq -\frac{\sqrt{10}}{2} \quad \text{или} \quad 0 \leq x \leq \frac{\sqrt{10}}{2} \quad \text{(при \( \sqrt{10} \approx 3.16 \))}$$

Здесь видно, что функция возрастает на промежутке $\left( -\infty; -\frac{\sqrt{10}}{2} \right] \cup \left[ 0; \frac{\sqrt{10}}{2} \right]$, и убывает на $\left[ -\frac{\sqrt{10}}{2}; 0 \right] \cup \left[ \frac{\sqrt{10}}{2}; +\infty \right)$.

3. Вершины функции:

Теперь находим значения функции в точках экстремума, то есть в точках $x = 0$, $x = \pm \frac{\sqrt{10}}{2}$.

• В точке $x = 0$:

$$y(0) = -(0)^4 + 5 \cdot 0^2 — 4 = -4$$

• В точке $x = \pm 1.6$:

$$y(\pm 1.6)\approx -(1.6{)}^4+5\cdot (1.6{)}^2-4=$$

$$y(\pm 1.6) \approx -(1.6)^4 + 5 \cdot (1.6)^2 — 4 = -6.5 + 5 \cdot 2.6 — 4 \approx -10.5 + 12.8 \approx 2.3$$

Таким образом, в точке $x = 0$ функция имеет значение $y = -4$, а в точках $x = \pm 1.6$ значения функции приближенно равны $y \approx 2.3$.

4. Некоторые точки функции:

Для получения графика определим несколько точек:

$$\begin{array}{|c|c|c|c|c} \hline x & -2 & -1 & 1 & 2 \\ \hline y & 0 & 0 & 0 & 0 \\ \hline \end{array}$$

5. График функции:

Функция будет иметь два экстремума: точку максимума при $x = -1.6$ и точку минимума при $x = 1.6$. При $x = 0$ функция имеет точку минимума.

Ответ:

• Функция возрастает на $\left( -\infty; -\frac{\sqrt{10}}{2} \right] \cup \left[ 0; \frac{\sqrt{10}}{2} \right]$,
• Функция убывает на $\left[ -\frac{\sqrt{10}}{2}; 0 \right] \cup \left[ \frac{\sqrt{10}}{2}; +\infty \right)$,
• Точка максимума: $x = \pm \frac{\sqrt{10}}{2}$,
• Точка минимума: $x = 0$.

б) $y = x^5 — 5x$

1. Нахождение производной:

Найдем первую производную функции:

$$y’ = (x^5)’ — (5x)’ = 5x^4 — 5$$

2. Промежутки возрастания и убывания:

Теперь решим неравенство для производной $y’ = 5x^4 — 5$:

$$5x^4 — 5 \geq 0$$ $$x^4 \geq 1$$

Это неравенство выполняется, когда $x \leq -1$ или $x \geq 1$.

Таким образом, функция возрастает на $(-\infty; -1] \cup [1; +\infty)$ и убывает на промежутке $[-1; 1]$.

3. Вершины функции:

Теперь находим значения функции в точках экстремума $x = -1$ и $x = 1$:

• В точке $x = -1$:

$$y(-1) = (-1)^5 — 5 \cdot (-1) = -1 + 5 = 4$$

• В точке $x = 1$:

$$y(1) = 1^5 — 5 \cdot 1 = 1 — 5 = -4$$

4. Некоторые точки функции:

Для получения графика определим несколько точек:

$$\begin{array}{|c|c|c|c} \hline x & -1,5 & 0 & 1,5 \\ \hline y & 0 & 0 & 0 \\ \hline \end{array}$$

5. График функции:

Функция имеет два экстремума: точку максимума при $x = -1$ и точку минимума при $x = 1$.

Ответ:

• Функция возрастает на $(-\infty; -1] \cup [1; +\infty)$,
• Функция убывает на $[-1; 1]$,
• Точка максимума: $x = -1$,
• Точка минимума: $x = 1$.

в) $y = 2x^4 — 9x^2 + 7$

1. Нахождение производной:

Найдем первую производную функции:

$$y’ = 2(x^4)’ — 9(x^2)’ + (7)’$$ $$y’ = 2 \cdot 4x^3 — 9 \cdot 2x + 0 = 8x^3 — 18x$$

2. Промежутки возрастания и убывания:

Решим неравенство для производной:

$$8x^3 — 18x \geq 0$$ $$2x(4x^2 — 9) \geq 0$$

Решаем это неравенство:

$$(2x + 3) \cdot x \cdot (2x — 3) \geq 0$$

Это неравенство выполняется на промежутках:

$$-1.5 \leq x \leq 0 \quad \text{или} \quad x \geq 1.5$$

3. Вершины функции:

Теперь вычислим значения функции в точках $x = -1.5$, $x = 0$, и $x = 1.5$:

• В точке $x = -1.5$:

$$y(-1.5) \approx 2 \cdot 5.06 — 9 \cdot 2.25 + 7 \approx 10.1 — 20.25 + 7 \approx -3.15$$

• В точке $x = 0$:

$$y(0) = 2 \cdot 0^4 — 9 \cdot 0^2 + 7 = 7$$

• В точке $x = 1.5$:

$$y(1.5) \approx 2 \cdot 5.06 — 9 \cdot 2.25 + 7 \approx -3.15$$

4. Некоторые точки функции:

Для построения графика:

$$\begin{array}{|c|c|c|c|c} \hline x & -2 & -1 & 1 & 2 \\ \hline y & 3 & 0 & 0 & 3 \\ \hline \end{array}$$

5. График функции:

Ответ:

• Функция возрастает на $[-1.5; 0] \cup [1.5; +\infty)$,
• Функция убывает на $(-\infty; -1.5] \cup [0; 1.5]$,
• Точка максимума: $x = 0$,
• Точка минимума: $x = \pm 1.5$.

г) $y = 5x^3 — 3x^5$

1. Нахождение производной:

Найдем первую производную функции:

$$y’ = 5(x^3)’ — 3(x^5)’ = 5 \cdot 3x^2 — 3 \cdot 5x^4 = 15x^2 — 15x^4$$

2. Промежуток возрастания и убывания:

Решим неравенство для производной:

$$15x^2 — 15x^4 \geq 0$$ $$x^2 — x^4 \geq 0$$ $$x^2(1 — x^2) \geq 0$$

Это неравенство выполняется на промежутках:

$$-1 \leq x \leq 1 \quad \text{или} \quad x = 0$$

3. Вершины функции:

Вычислим значения функции в точках $x = -1$ и $x = 1$:

• В точке $x = -1$:

$$y(-1) = 5 \cdot (-1)^3 — 3 \cdot (-1)^5 = -5 + 3 = -2$$

• В точке $x = 1$:

$$y(1) = 5 \cdot 1^3 — 3 \cdot 1^5 = 5 — 3 = 2$$

4. Некоторые точки функции:

Для построения графика:

$$\begin{array}{|c|c|c|c} \hline x & -1,5 & 0 & 1,5 \\ \hline y & 5,9 & 0 & 5,9 \\ \hline \end{array}$$

5. График функции:

Ответ:

• Функция возрастает на $[-1; 1]$,
• Функция убывает на $(-\infty; -1] \cup [1; +\infty)$,
• Точка максимума: $x = 1$,
• Точка минимума: $x = -1$.