ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 44.68 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Исследуйте функцию на монотонность и экстремумы и постройте ее график:

а) $y=(x-1{)}^2\cdot (x+2)$;

б) $y=\frac{256}{9}\cdot x(x-1{)}^3$;

в) $y=(x+2{)}^2\cdot (x-3)$;

г) $y=x^3\cdot (2-x)$

а) $y=(x-1{)}^2\cdot (x+2)$;

$y=(x^2-2x+1)(x+2)=x^3-2x^2+x+2x^2-4x+2=x^3-3x+2;$

$y^{\mathrm{\prime }}=(x^3{)}^{\mathrm{\prime }}-(3x-2{)}^{\mathrm{\prime }}=3x^2-3;$

Промежуток возрастания:

$$3x^2-3\ge 0;$$$$x^2-1\ge 0;$$$$x^2\ge 1,\text{ отсюда }x\le -1\text{ или }x\ge 1;$$

Вершины функции:

$$y(-1)=(-1-1{)}^2\cdot (-1+2)=(-2{)}^2\cdot 1=4;$$$$y(1)=(1-1{)}^2\cdot (1+2)=0^2\cdot 3=0;$$

Некоторые точки:

$$\overline{)\begin{array}{cccc}x& -2& 0& 2\\ y& 0& 2& 4\end{array}}$$

График функции:

Ответ: возрастает на $(-\mathrm{\infty };-1]\cup [1;+\mathrm{\infty })$ и убывает на $[-1;1]$;

$x=-1$ — точка максимума;

$x=1$ — точка минимума.

б) $y=\frac{256}{9}\cdot x(x-1{)}^3$;

$$y^{\mathrm{\prime }}=\frac{256}{9}(x(x-1{)}^3+x(x-1{)}^3)=\frac{256}{9}((x-1{)}^3+3x(x-1{)}^2)$$

Промежуток возрастания:

$$\frac{256}{9}((x-1{)}^3+3x(x-1{)}^2)\ge 0;$$$$(x-1{)}^2((x-1)+3x)\ge 0;$$$$x-1+3x\ge 0;$$$$4x\ge 1,\text{ отсюда }x\ge \frac{1}{4}\text{ или }x=1;$$

Вершина функции:

$$y\left(\frac{1}{4}\right)=\frac{256}{9}\cdot \frac{1}{4}\cdot {(\frac{1}{4}-1)}^3=\frac{256}{36}\cdot (-\frac{27}{64})=-\frac{4\cdot 3}{4}=-3;$$

Некоторые точки:

$$\overline{)\begin{array}{cccc}x& -0.1& 1& 1.5\\ y& 3.8& 0& 5.3\end{array}}$$

График функции:

Ответ: возрастает на $[0.25;+\mathrm{\infty })$ и убывает на $(-\mathrm{\infty };0.25]$;

$x=0.25$ — точка минимума.

в) $y=(x+2{)}^2\cdot (x-3)$;

$y=(x^2+4x+4)(x-3)=x^3+4x^2+4x-3x^2-12x-12;$

$y=x^3+x^2-8x-12;$

$y^{\mathrm{\prime }}=(x^3{)}^{\mathrm{\prime }}+(x^2{)}^{\mathrm{\prime }}-(8x+12{)}^{\mathrm{\prime }}=3x^2+2x-8;$

Промежуток возрастания:

$$3x^2+2x-8=0;$$$$D=2^2+4\cdot 3\cdot 8=4+96=100,\text{ тогда: }$$$$x_1=\frac{-2-10}{2\cdot 3}=-2\text{ и }{x}_2=\frac{-2+10}{2\cdot 3}=\frac{4}{3};$$$$3(x+2)(x-\frac{4}{3})\ge 0;$$$$x\le -2\text{ или }x\ge 1\frac{1}{3};$$

Вершины функции:

$$y(-2)=(-2+2{)}^2\cdot (-2-3)=0^2\cdot (-5)=0;$$$$y\left(\frac{4}{3}\right)={(\frac{4}{3}+2)}^2\cdot (\frac{4}{3}-3)={\left(\frac{10}{3}\right)}^2\cdot (-\frac{5}{3})=-\frac{500}{27}=-18\frac{14}{27};$$

Некоторые точки:

$$\overline{)\begin{array}{ccccccc}x& -3& -1& 0& 1& 2& 3\\ y& -6& -4& -12& -18& -16& 0\end{array}}$$

График функции:

Ответ: возрастает на $(-\mathrm{\infty };-2]\cup [1\frac{1}{3};+\mathrm{\infty })$ и убывает на $[-2;1\frac{1}{3}]$;

$x=-2$ — точка максимума;

$x=1\frac{1}{3}$ — точка минимума.

г) $y=x^3\cdot (2-x)$;

$y=2x^3-x^4;$

$y^{\mathrm{\prime }}=2(x^3{)}^{\mathrm{\prime }}-(x^4{)}^{\mathrm{\prime }}=2\cdot 3x^2-4x^3=6x^2-4x^3;$

Промежуток возрастания:

$$6x^2-4x^3\ge 0;$$$$2x^2(3-2x)\ge 0;$$$$3-2x\ge 0;$$$$3\ge 2x,\text{ отсюда }x\le 1.5\text{ или }x=0;$$

Вершина функции:

$$y(1.5)={\left(\frac{3}{2}\right)}^3\cdot (2-1.5)=\frac{27}{8}\cdot \frac{1}{2}=\frac{27}{16}=1\frac{11}{16};$$

Некоторые точки:

$$\overline{)\begin{array}{ccccc}x& -1& 0& 1& 2\\ y& -3& 0& 1& 0\end{array}}$$

4) График функции:

Ответ: возрастает на $(-\mathrm{\infty };1,5]$ и убывает на $[1,5;+\mathrm{\infty })$;

$x=1,5$ — точка максимума.

а) $y=(x-1{)}^2\cdot (x+2)$

1. Нахождение производной:

Начнем с нахождения первой производной функции $y=(x-1{)}^2\cdot (x+2)$. Для этого используем правило дифференцирования произведения:

$$y^{\mathrm{\prime }}=\frac{d}{dx}[(x-1{)}^2]\cdot (x+2)+(x-1{)}^2\cdot \frac{d}{dx}[(x+2)]$$

Для каждого множителя:

• Производная $(x-1{)}^2$ по $x$ равна $2(x-1)$,
• Производная $(x+2)$ по $x$ равна 1.

Подставляем эти производные:

$$y^{\mathrm{\prime }}=2(x-1)\cdot (x+2)+(x-1{)}^2$$

Теперь упрощаем:

$$y^{\mathrm{\prime }}=2(x-1)(x+2)+(x-1{)}^2$$

Раскроем скобки:

$$y^{\mathrm{\prime }}=2(x^2+x-2)+(x^2-2x+1)$$$$y^{\mathrm{\prime }}=2x^2+2x-4+x^2-2x+1$$$$y^{\mathrm{\prime }}=3x^2-3$$

Итак, производная:

$$y^{\mathrm{\prime }}=3x^2-3$$

2. Промежутки возрастания и убывания:

Для нахождения промежутков возрастания и убывания решим неравенство для первой производной:

$$3x^2-3\ge 0$$

Разделим обе части на 3:

$$x^2-1\ge 0$$

Это неравенство можно решить, записав его в виде:

$$(x-1)(x+1)\ge 0$$

Итак, функция возрастает или убывает на следующих промежутках:

$$x\le -1\text{или}x\ge 1$$

Таким образом, функция возрастает на промежутке $(-\mathrm{\infty };-1]\cup [1;+\mathrm{\infty })$ и убывает на промежутке $[-1;1]$.

3. Вершины функции:

Теперь находим значения функции в точках экстремума. Эти точки могут быть на $x=-1$ и $x=1$.

• В точке $x=-1$:

$$y(-1)=(-1-1{)}^2\cdot (-1+2)=(-2{)}^2\cdot 1=4$$

• В точке $x=1$:

$$y(1)=(1-1{)}^2\cdot (1+2)=0^2\cdot 3=0$$

4. Некоторые точки функции:

Для построения графика вычислим значения функции для нескольких точек:

$$\overline{)\begin{array}{cccc}x& -2& 0& 2\\ y& 0& 2& 4\end{array}}$$

5. График функции:

Функция будет возрастать на $(-\mathrm{\infty };-1]\cup [1;+\mathrm{\infty })$ и убывать на $[-1;1]$. В точке $x=-1$ находится точка максимума, а в точке $x=1$ — точка минимума.

Ответ:

• Функция возрастает на $(-\mathrm{\infty };-1]\cup [1;+\mathrm{\infty })$,
• Функция убывает на $[-1;1]$,
• $x=-1$ — точка максимума,
• $x=1$ — точка минимума.

б) $y=\frac{256}{9}\cdot x(x-1{)}^3$

1. Нахождение производной:

Найдем первую производную функции $y=\frac{256}{9}\cdot x(x-1{)}^3$ по правилу дифференцирования произведения:

$$y^{\mathrm{\prime }}=\frac{256}{9}[(x{)}^{\mathrm{\prime }}(x-1{)}^3+x\cdot \frac{d}{dx}((x-1{)}^3)]$$

Производная $(x-1{)}^3$ по $x$ равна $3(x-1{)}^2$. Тогда:

$$y^{\mathrm{\prime }}=\frac{256}{9}[(x-1{)}^3+3x(x-1{)}^2]$$

2. Промежуток возрастания и убывания:

Решим неравенство для первой производной:

$$\frac{256}{9}[(x-1{)}^3+3x(x-1{)}^2]\ge 0$$

Делим обе части на $\frac{256}{9}$ (так как оно всегда положительно):

$$(x-1{)}^2((x-1)+3x)\ge 0$$$$(x-1{)}^2\cdot (4x-1)\ge 0$$

Теперь решаем неравенство:

• $(x-1{)}^2\ge 0$ для всех $x$,
• $4x-1\ge 0$, то есть $x\ge \frac{1}{4}$.

Таким образом, функция возрастает на промежутке $[\frac{1}{4};+\mathrm{\infty })$, и убывает на $(-\mathrm{\infty };\frac{1}{4}]$.

3. Вершина функции:

Для нахождения вершины функции подставим $x=\frac{1}{4}$ в уравнение:

$$y\left(\frac{1}{4}\right)=\frac{256}{9}\cdot \frac{1}{4}\cdot {(\frac{1}{4}-1)}^3$$$$y\left(\frac{1}{4}\right)=\frac{256}{36}\cdot (-\frac{27}{64})=-\frac{4\cdot 3}{4}=-3$$

4. Некоторые точки функции:

Для построения графика вычислим несколько значений функции:

$$\overline{)\begin{array}{cccc}x& -0.1& 1& 1.5\\ y& 3.8& 0& 5.3\end{array}}$$

5. График функции:

Ответ:

• Функция возрастает на $[\frac{1}{4};+\mathrm{\infty })$,
• Функция убывает на $(-\mathrm{\infty };\frac{1}{4}]$,
• $x=\frac{1}{4}$ — точка минимума.

в) $y=(x+2{)}^2\cdot (x-3)$

1. Нахождение производной:

Найдем первую производную функции $y=(x+2{)}^2\cdot (x-3)$ по правилу дифференцирования произведения:

$$y^{\mathrm{\prime }}=\frac{d}{dx}[(x+2{)}^2]\cdot (x-3)+(x+2{)}^2\cdot \frac{d}{dx}[(x-3)]$$

• Производная $(x+2{)}^2$ по $x$ равна $2(x+2)$,
• Производная $(x-3)$ по $x$ равна 1.

Тогда:

$$y^{\mathrm{\prime }}=2(x+2)\cdot (x-3)+(x+2{)}^2$$

2. Промежуток возрастания и убывания:

Решим неравенство для первой производной:

$$3x^2+2x-8=0$$

Вычислим дискриминант:

$$D=2^2+4\cdot 3\cdot 8=4+96=100$$

Корни уравнения:

$$x_1=\frac{-2-10}{6}=-2\text{и}{x}_2=\frac{-2+10}{6}=\frac{4}{3}$$

Неравенство $3(x+2)(x-\frac{4}{3})\ge 0$ выполняется, когда:

$$x\le -2\text{или}x\ge \frac{4}{3}$$

3. Вершины функции:

Подставляем найденные значения $x=-2$ и $x=\frac{4}{3}$ в исходное уравнение:

• В точке $x=-2$:

$$y(-2)=(-2+2{)}^2\cdot (-2-3)=0^2\cdot (-5)=0$$

• В точке $x=\frac{4}{3}$:

$$y\left(\frac{4}{3}\right)={(\frac{4}{3}+2)}^2\cdot (\frac{4}{3}-3)={\left(\frac{10}{3}\right)}^2\cdot (-\frac{5}{3})=-\frac{500}{27}=-18\frac{14}{27}$$

4. Некоторые точки функции:

Для построения графика вычислим несколько значений функции:

$$\overline{)\begin{array}{ccccccc}x& -3& -1& 0& 1& 2& 3\\ y& -6& -4& -12& -18& -16& 0\end{array}}$$

5. График функции:

Ответ:

• Функция возрастает на $(-\mathrm{\infty };-2]\cup [\frac{4}{3};+\mathrm{\infty })$,
• Функция убывает на $[-2;\frac{4}{3}]$,
• $x=-2$ — точка максимума,
• $x=\frac{4}{3}$ — точка минимума.

г) $y=x^3\cdot (2-x)$

1. Нахождение производной:

Найдем первую производную функции:

$$y=2x^3-x^4$$$$y^{\mathrm{\prime }}=2(x^3{)}^{\mathrm{\prime }}-(x^4{)}^{\mathrm{\prime }}=2\cdot 3x^2-4x^3=6x^2-4x^3$$

2. Промежуток возрастания и убывания:

Решим неравенство для первой производной:

$$6x^2-4x^3\ge 0$$

Выносим $2x^2$:

$$2x^2(3-2x)\ge 0$$

Решаем это неравенство:

$$3-2x\ge 0$$$$3\ge 2x,\text{ отсюда }x\le 1.5\text{ или }x=0$$

3. Вершина функции:

Подставляем $x=1.5$ в уравнение:

$$y(1.5)={\left(\frac{3}{2}\right)}^3\cdot (2-1.5)=\frac{27}{8}\cdot \frac{1}{2}=\frac{27}{16}=1\frac{11}{16}$$

4. Некоторые точки функции:

Для построения графика:

$$\overline{)\begin{array}{ccccc}x& -1& 0& 1& 2\\ y& -3& 0& 1& 0\end{array}}$$

5. График функции:

Ответ:

• Функция возрастает на $(-\mathrm{\infty };1.5]$,
• Функция убывает на $[1.5;+\mathrm{\infty })$,
• $x=1.5$ — точка максимума.