ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 44.69 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Решите уравнение:

а) $x^3 + 5 = 15 — x$;

б) $x^5 + 3x^3 + 7x — 11 = 0$;

в) $2x^5 + 3x^3 = 17 — 12x$;

г) $x^5 + 4x^3 + 8x — 13 = 0$

а) $x^3 + 5 = 15 — x$;

Уравнение имеет только один корень:

$$f'(x) = (x^3)’ + (5)’ = 3x^2 + 0 = 3x^2 \geq 0;$$ $$g'(x) = (15 — x)’ = -1 \leq 0;$$

Найдем решение методом перебора:

$$f(2) = 2^3 + 5 = 8 + 5 = 13;$$ $$g(2) = 15 — 2 = 13;$$

Ответ: $x = 2$.

б) $x^5 + 3x^3 + 7x — 11 = 0$;

Уравнение имеет только один корень:

$$f'(x) = (x^5)’ + 3(x^3)’ = 5x^4 + 3 \cdot 3x^2 = 5x^4 + 9x^2 \geq 0;$$ $$g'(x) = (11 — 7x)’ = -7 < 0;$$

Найдем решение методом перебора:

$$f(1) = 1^5 + 3 \cdot 1^3 = 1 + 3 = 4;$$ $$g(1) = 11 — 7 = 4;$$

Ответ: $x = 1$.

в) $2x^5 + 3x^3 = 17 — 12x$;

Уравнение имеет только один корень:

$$f'(x) = 2(x^5)’ + 3(x^3)’ = 2 \cdot 5x^4 + 3 \cdot 3x^2 = 10x^4 + 9x^2 \geq 0;$$ $$g'(x) = (17 — 12x)’ = -12 < 0;$$

Найдем решение методом перебора:

$$f(1) = 2 \cdot 1^5 + 3 \cdot 1^3 = 2 + 3 = 5;$$ $$g(1) = 17 — 12 \cdot 1 = 17 — 12 = 5;$$

Ответ: $x = 1$.

г) $x^5 + 4x^3 + 8x — 13 = 0$;

Уравнение имеет только один корень:

$$f'(x) = (x^5)’ + 4(x^3)’ = 5x^4 + 4 \cdot 3x^2 = 5x^4 + 12x^2 \geq 0;$$ $$g'(x) = (13 — 8x)’ = -8 < 0;$$

Найдем решение методом перебора:

$$f(1) = 1^5 + 4 \cdot 1^3 = 1 + 4 = 5;$$ $$g(1) = 13 — 8 = 5;$$

Ответ: $x = 1$.

а) $x^3 + 5 = 15 — x$

Приведем уравнение к стандартному виду:

Переносим все члены в одну сторону уравнения:

$$x^3 + 5 = 15 — x$$

Добавим $x$ и вычтем 15 с обеих сторон:

$$x^3 + x + 5 — 15 = 0$$

Упростим:

$$x^3 + x — 10 = 0$$

Это уравнение теперь в стандартной форме для решения.

Исследование функции и нахождение корней методом перебора:

Рассмотрим функцию:

$$f(x) = x^3 + x — 10$$

Нахождение производной $f'(x)$, чтобы понять поведение функции:

$$f'(x) = (x^3)’ + (x)’ = 3x^2 + 1$$

Мы видим, что $f'(x) = 3x^2 + 1 \geq 1$ для всех значений $x$, так как квадрат любого числа всегда неотрицателен, и прибавляемая единица гарантирует, что производная всегда положительна.

Следовательно, функция $f(x) = x^3 + x — 10$ является строго возрастающей на всей области определения. Это значит, что у уравнения может быть только один корень.

Нахождение корня методом подбора:

Для поиска корня подставим различные значения $x$:

• Для $x = 2$:

  $$f(2) = 2^3 + 2 — 10 = 8 + 2 — 10 = 0$$

  Мы получаем, что $f(2) = 0$, значит, $x = 2$ — корень уравнения.

Ответ: $x = 2$.

б) $x^5 + 3x^3 + 7x — 11 = 0$

Приводим уравнение к стандартному виду:

Уравнение уже имеет вид:

$$x^5 + 3x^3 + 7x — 11 = 0$$

Исследуем функцию и находим производную:

Рассмотрим функцию:

$$f(x) = x^5 + 3x^3 + 7x — 11$$

Найдем производную $f'(x)$:

$$f'(x) = (x^5)’ + 3(x^3)’ + (7x)’ = 5x^4 + 9x^2 + 7$$

Видно, что $f'(x) = 5x^4 + 9x^2 + 7 \geq 7$, так как все слагаемые положительные. Это означает, что производная функции всегда положительна, и функция $f(x)$ является строго возрастающей.

Нахождение корня методом подбора:

Подставим различные значения $x$:

• Для $x = 1$:

  $$f(1) = 1^5 + 3 \cdot 1^3 + 7 \cdot 1 — 11 = 1 + 3 + 7 — 11 = 0$$

  Таким образом, $f(1) = 0$, и $x = 1$ — корень уравнения.

Ответ: $x = 1$.

в) $2x^5 + 3x^3 = 17 — 12x$

Приводим уравнение к стандартному виду:

Переносим все члены в одну сторону:

$$2x^5 + 3x^3 + 12x — 17 = 0$$

Это уравнение теперь в стандартной форме.

Исследуем функцию и находим производную:

Рассмотрим функцию:

$$f(x) = 2x^5 + 3x^3 + 12x — 17$$

Найдем производную $f'(x)$:

$$f'(x) = 2 \cdot 5x^4 + 3 \cdot 3x^2 + 12 = 10x^4 + 9x^2 + 12$$

Мы видим, что $f'(x) = 10x^4 + 9x^2 + 12 \geq 12$, так как все слагаемые положительные. Это означает, что функция строго возрастает.

Нахождение корня методом подбора:

Подставим различные значения $x$:

• Для $x = 1$:

  $$f(1) = 2 \cdot 1^5 + 3 \cdot 1^3 + 12 \cdot 1 — 17 = 2 + 3 + 12 — 17 = 0$$

  Таким образом, $f(1) = 0$, и $x = 1$ — корень уравнения.

Ответ: $x = 1$.

г) $x^5 + 4x^3 + 8x — 13 = 0$

Приводим уравнение к стандартному виду:

Уравнение уже в стандартной форме:

$$x^5 + 4x^3 + 8x — 13 = 0$$

Исследуем функцию и находим производную:

Рассмотрим функцию:

$$f(x) = x^5 + 4x^3 + 8x — 13$$

Найдем производную $f'(x)$:

$$f'(x) = (x^5)’ + 4(x^3)’ + (8x)’ = 5x^4 + 4 \cdot 3x^2 + 8 = 5x^4 + 12x^2 + 8$$

Мы видим, что $f'(x) = 5x^4 + 12x^2 + 8 \geq 8$, так как все слагаемые положительные. Это означает, что функция строго возрастает.

Нахождение корня методом подбора:

Подставим различные значения $x$:

• Для $x = 1$:

  $$f(1) = 1^5 + 4 \cdot 1^3 + 8 \cdot 1 — 13 = 1 + 4 + 8 — 13 = 0$$

  Таким образом, $f(1) = 0$, и $x = 1$ — корень уравнения.

Ответ: $x = 1$.