ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 44.7 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

На рис. 109—112 изображены графики функций $y = f(x)$, $y = g(x)$, $y = h(x)$ и $y = \varphi(x)$, определённых на всей числовой прямой. Используя их, решите неравенство:

а) $f'(x) \leqslant 0$;
б) $g'(x) \geqslant 0$;
в) $h'(x) \geqslant 0$;
г) $\varphi'(x) \leqslant 0$.

а) $f'(x) \leq 0$;
Функция убывает на промежутке $[2; +\infty)$;
Ответ: $x \geq 2$.

б) $g'(x) \geq 0$;
Функция возрастает на промежутке $[2; 5]$;
Ответ: $2 \leq x \leq 5$.

в) $h'(x) \geq 0$;
Функция возрастает на промежутке $[0; +\infty)$;
Ответ: $x \geq 0$.

г) $\varphi'(x) \leq 0$;
Функция убывает на промежутке $[-3; 0]$;
Ответ: $-3 \leq x \leq 0$.

Производная функции $f'(x)$ в точке описывает угловой коэффициент касательной к графику функции в этой точке, то есть показывает скорость изменения функции:

• Если $f'(x) > 0$, то функция возрастает — график идёт вверх, слева направо.
• Если $f'(x) < 0$, то функция убывает — график идёт вниз, слева направо.
• Если $f'(x) = 0$, то касательная горизонтальна — функция может иметь экстремум (максимум или минимум) в этой точке.

Когда нас просят решить неравенство, связанное с производной (например, $f'(x) \leq 0$), это означает, что мы должны найти все значения $x$, при которых график функции не возрастает (то есть убывает или остаётся на одном уровне).

а) $f'(x) \leq 0$

Цель: найти такие значения $x$, при которых функция $f(x)$ убывает или остаётся постоянной.

Анализ графика $y = f(x)$:

1. Смотрим на график функции.
2. Определяем участки, где кривая идёт вниз или горизонтально, если смотреть слева направо.
3. Такие участки соответствуют $f'(x) \leq 0$.

Допустим, график $f(x)$ убывает начиная с точки $x = 2$ и далее — без изменений (то есть на всём промежутке от 2 до $+\infty$):

• На этом промежутке касательные к графику имеют неположительный наклон (или равны нулю).
• Это означает, что $f'(x) \leq 0$ при $x \geq 2$.

Ответ:

$$x \geq 2$$

б) $g'(x) \geq 0$

Цель: найти значения $x$, на которых функция $g(x)$ возрастает или остаётся постоянной.

Анализ графика $y = g(x)$:

1. Ищем отрезок, на котором график идёт вверх (или горизонтально).
2. Допустим, на интервале от $x = 2$ до $x = 5$ график поднимается.

• Это означает, что в этом промежутке производная $g'(x) \geq 0$ — то есть касательные либо наклонены вверх, либо горизонтальны.

Ответ:

$$2 \leq x \leq 5$$

в) $h'(x) \geq 0$

Цель: найти $x$, при которых $h(x)$ не убывает.

Анализ графика $y = h(x)$:

1. Смотрим, где график функции возрастает.
2. Пусть он начинает возрастать с точки $x = 0$ и далее — на всём промежутке $[0; +\infty)$.

• Это означает, что для всех $x \geq 0$, производная $h'(x) \geq 0$.

Ответ:

$$x \geq 0$$

г) $\varphi'(x) \leq 0$

Цель: найти промежутки, на которых $\varphi(x)$ убывает или остаётся постоянной.

Анализ графика $y = \varphi(x)$:

1. Определяем участок, где график идёт вниз или остаётся горизонтальным.
2. Допустим, это происходит на отрезке $[-3; 0]$.

• Значит, на всём этом отрезке производная $\varphi'(x) \leq 0$.

Ответ:

$$-3 \leq x \leq 0$$

Итоговые ответы:

а) $x \geq 2$
б) $2 \leq x \leq 5$
в) $x \geq 0$
г) $-3 \leq x \leq 0$