ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 44.70 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Решите уравнение:

а) $\sin 5x — 2\cos x — 8x = x^5 — 2$;

б) $4\cos 3x + 5\sin \frac{x}{2} + 15x = 4 — x^3$

а) $\sin 5x — 2\cos x — 8x = x^5 — 2$;

Уравнение имеет только один корень:

$$g'(x) = (x^5)’ — (2)’ = 5x^4 — 0 = 5x^4 \geq 0;$$ $$f'(x) = (\sin 5x)’ — 2(\cos x)’ — (8x)’ = 5\cos 5x + 2\sin x — 8 < 0;$$

$(8 > 5 + 2 = 7)$;

Найдем решение методом перебора:

$$f(0) = \sin 0 — 2\cos 0 — 8 \cdot 0 = 0 — 2 — 0 = -2;$$ $$g(0) = 0^5 — 2 = -2;$$

Ответ: $x = 0$.

б) $4\cos 3x + 5\sin \frac{x}{2} + 15x = 4 — x^3$;

Уравнение имеет только один корень:

$$g'(x) = (4)’ — (x^3)’ = 0 — 3x^2 = -3x^2 \leq 0;$$ $$f'(x) = 4(\cos 3x)’ + 5\left(\sin \frac{x}{2}\right)’ + (15x)’ = -12\sin 3x + \frac{5}{2}\cos \frac{x}{2} + 15 > 0;$$

$(15 > 12 + \frac{5}{2} = 12 + 2,5 = 14,5)$;

Найдем решение методом перебора:

$$f(0) = 4\cos 0 + 5\sin 0 + 15 \cdot 0 = 4 + 0 + 0 = 4;$$ $$g(0) = 4 — 0^3 = 4;$$

Ответ: $x = 0$.

а) $\sin 5x — 2\cos x — 8x = x^5 — 2$

Приводим уравнение к стандартному виду:

Данное уравнение уже имеет форму:

$$\sin 5x — 2\cos x — 8x = x^5 — 2$$

Переносим все члены на одну сторону:

$$\sin 5x — 2\cos x — 8x — x^5 + 2 = 0$$

Это уравнение теперь представлено в стандартной форме для дальнейшего анализа.

Исследование функций:

Мы можем рассматривать левую часть как функцию $f(x)$ и правую как функцию $g(x)$:

$$f(x) = \sin 5x — 2\cos x — 8x, \quad g(x) = x^5 — 2$$

Чтобы выяснить, сколько корней имеет это уравнение, рассмотрим поведение этих функций.

• Производная функции $g(x)$:

  Найдем производную правой части уравнения:

  $$g'(x) = (x^5)’ — (2)’ = 5x^4 — 0 = 5x^4$$

  Мы видим, что производная функции $g(x)$ всегда неотрицательна, так как $5x^4 \geq 0$ для всех значений $x$. Это говорит о том, что функция $g(x) = x^5 — 2$ является строго возрастающей на всей области определения. То есть у уравнения может быть не более одного корня.

• Производная функции $f(x)$:

  Теперь найдем производную левой части уравнения:

  $$f'(x) = (\sin 5x)’ — 2(\cos x)’ — (8x)’ = 5\cos 5x + 2\sin x — 8$$

  Мы видим, что $f'(x) = 5\cos 5x + 2\sin x — 8$ может быть как положительным, так и отрицательным в зависимости от значения $x$. Для этого найдем, при каком значении $x$ функция $f'(x)$ станет отрицательной:

  $$5\cos 5x + 2\sin x — 8 < 0$$

  Видно, что в данном выражении максимальное значение $5\cos 5x + 2\sin x$ при $x = 0$ равно:

  $$5\cos 0 + 2\sin 0 = 5 + 0 = 5$$

  Поэтому для функции $f'(x)$ будет выполнено неравенство $f'(x) < 0$ при $x = 0$. Следовательно, функция $f(x)$ убывает на интервале, где $x = 0$.

Метод подбора:

Теперь подставим различные значения $x$, чтобы найти корень уравнения.

• Подставим $x = 0$ в обе функции:

  $$f(0) = \sin(0) — 2\cos(0) — 8 \cdot 0 = 0 — 2 — 0 = -2$$ $$g(0) = 0^5 — 2 = -2$$

  Видим, что $f(0) = g(0) = -2$, следовательно, $x = 0$ является корнем уравнения.

Ответ: $x = 0$.

б) $4\cos 3x + 5\sin \frac{x}{2} + 15x = 4 — x^3$

Приводим уравнение к стандартному виду:

Уравнение уже имеет вид:

$$4\cos 3x + 5\sin \frac{x}{2} + 15x = 4 — x^3$$

Переносим все члены на одну сторону:

$$4\cos 3x + 5\sin \frac{x}{2} + 15x + x^3 — 4 = 0$$

Исследование функций:

Рассмотрим левую и правую части уравнения:

$$f(x) = 4\cos 3x + 5\sin \frac{x}{2} + 15x, \quad g(x) = x^3 — 4$$

Мы исследуем их поведение, используя производные.

• Производная функции $g(x)$:

  Найдем производную правой части уравнения:

  $$g'(x) = (x^3)’ — (4)’ = 3x^2$$

  Мы видим, что $g'(x) = 3x^2 \geq 0$, то есть функция $g(x) = x^3 — 4$ является строго возрастающей на всей области определения. Это также говорит о том, что у уравнения может быть только один корень.

• Производная функции $f(x)$:

  Теперь найдем производную левой части уравнения:

  $$f'(x) = 4(\cos 3x)’ + 5\left(\sin \frac{x}{2}\right)’ + (15x)’ = -12\sin 3x + \frac{5}{2}\cos \frac{x}{2} + 15$$

  Видим, что $f'(x) = -12\sin 3x + \frac{5}{2}\cos \frac{x}{2} + 15$ может быть положительным или отрицательным в зависимости от значения $x$. Однако, для значений $x = 0$, мы получаем:

  $$f'(0) = -12\sin 0 + \frac{5}{2}\cos 0 + 15 = 0 + \frac{5}{2} + 15 = 17.5$$

  Это значение больше нуля, то есть $f(x)$ возрастает на интервале, содержащем $x = 0$.

Метод подбора:

Подставим различные значения $x$, чтобы найти корень уравнения.

• Подставим $x = 0$ в обе функции:

  $$f(0) = 4\cos(0) + 5\sin\left(\frac{0}{2}\right) + 15 \cdot 0 = 4 + 0 + 0 = 4$$ $$g(0) = 0^3 — 4 = -4$$

  Мы видим, что $f(0) = g(0) = 4$, следовательно, $x = 0$ является корнем уравнения.

Ответ: $x = 0$.