ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 44.71 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Решите уравнение:

а) $3 \cos \pi x + 5 \sin \frac{\pi x}{2} + 18x = 43 — x^5 — 22x^3$;

б) $2 \sin \frac{\pi x}{2} — 2 \cos \pi x — 10x = x^5 — 54$

а) $3 \cos \pi x + 5 \sin \frac{\pi x}{2} + 18x = 43 — x^5 — 22x^3$;

Уравнение имеет только один корень:

$$g'(x) = (43)’ — (x^5)’ — 22(x^3)’ = 0 — 5x^4 — 66x^2 = -5x^4 — 66x^2 \leq 0;$$ $$f'(x) = 3(\cos \pi x)’ + 5 \left( \sin \frac{\pi x}{2} \right) + (18x)’ = -3\pi \sin \pi x + \frac{5\pi}{2} \cos \frac{\pi x}{2} + 18 > 0;$$ $$\left( 18 > 3\pi + \frac{5\pi}{2} = \frac{11\pi}{2} \approx 17,2 \right);$$

Найдем решение методом перебора:

$$f(1) = 3 \cos \pi + 5 \sin \frac{\pi}{2} + 18 = -3 + 5 + 18 = 20;$$ $$g(1) = 43 — 1^5 — 22 \cdot 1^3 = 43 — 1 — 22 = 20;$$

Ответ: $x = 1$.

б) $2 \sin \frac{\pi x}{2} — 2 \cos \pi x — 10x = x^5 — 54$;

Уравнение имеет только один корень:

$$g'(x) = (x^5)’ — (54)’ = 5x^4 \geq 0;$$ $$f'(x) = 2 \left( \sin \frac{\pi x}{2} \right)’ — 2 (\cos \pi x)’ — (10x)’ = \pi \cos \frac{\pi x}{2} + 2\pi \sin \pi x — 10 < 0;$$ $$(10 > \pi + 2\pi = 3\pi \approx 9,4);$$

Найдем решение методом перебора:

$$f(2) = 2 \sin \pi — 2 \cos 2\pi — 10 \cdot 2 = 0 — 2 — 20 = -22;$$ $$g(2) = 2^5 — 54 = 32 — 54 = -22;$$

Ответ: $x = 2$.

а) $3 \cos \pi x + 5 \sin \frac{\pi x}{2} + 18x = 43 — x^5 — 22x^3$;

Приводим уравнение к стандартному виду:

Исходное уравнение:

$$3 \cos \pi x + 5 \sin \frac{\pi x}{2} + 18x = 43 — x^5 — 22x^3$$

Переносим все члены на одну сторону:

$$3 \cos \pi x + 5 \sin \frac{\pi x}{2} + 18x + x^5 + 22x^3 — 43 = 0$$

Теперь у нас уравнение, в котором все члены собраны на одной стороне.

Исследуем поведение функции:

Обозначим левую и правую части уравнения как функции $f(x)$ и $g(x)$:

$$f(x) = 3 \cos \pi x + 5 \sin \frac{\pi x}{2} + 18x, \quad g(x) = x^5 + 22x^3 — 43$$

Рассмотрим производные этих функций, чтобы понять их поведение и найти, сколько корней может быть у уравнения.

• Производная функции $g(x)$:

  $$g'(x) = (x^5)’ + 22(x^3)’ = 5x^4 + 66x^2$$

  Мы видим, что производная функции $g(x)$ всегда неотрицательна, поскольку $g'(x) = 5x^4 + 66x^2 \geq 0$ для всех $x$, так как обе составляющие $5x^4$ и $66x^2$ всегда положительные или равные нулю. Это означает, что функция $g(x)$ строго возрастает на всей области определения, что указывает на то, что у уравнения может быть только один корень.

• Производная функции $f(x)$:

  Рассмотрим производную левой части уравнения:

  $$f'(x) = 3(\cos \pi x)’ + 5 \left( \sin \frac{\pi x}{2} \right)’ + (18x)’$$

  Используем производные для тригонометрических функций:

  $$(\cos \pi x)’ = -\pi \sin \pi x, \quad \left( \sin \frac{\pi x}{2} \right)’ = \frac{\pi}{2} \cos \frac{\pi x}{2}, \quad (18x)’ = 18$$

  Таким образом, производная функции $f(x)$ будет:

  $$f'(x) = -3\pi \sin \pi x + \frac{5\pi}{2} \cos \frac{\pi x}{2} + 18$$

  Важно отметить, что $\sin \pi x$ и $\cos \frac{\pi x}{2}$ колеблются между -1 и 1. Таким образом, можно оценить поведение функции:

  • При $x = 0$:

    $$f'(0) = -3\pi \sin 0 + \frac{5\pi}{2} \cos 0 + 18 = 0 + \frac{5\pi}{2} + 18$$

    Так как $\frac{5\pi}{2} \approx 7.85$, получаем:

    $$f'(0) \approx 7.85 + 18 = 25.85 > 0$$

  Это указывает, что функция $f(x)$ растет при $x = 0$, и следовательно, она будет увеличиваться в окрестности $x = 0$.

Метод подбора:

Подставим $x = 1$ в обе функции для нахождения решения.

• Подставим $x = 1$ в $f(x)$:

  $$f(1) = 3 \cos \pi + 5 \sin \frac{\pi}{2} + 18 = 3(-1) + 5(1) + 18 = -3 + 5 + 18 = 20$$

• Подставим $x = 1$ в $g(x)$:

  $$g(1) = 1^5 + 22 \cdot 1^3 — 43 = 1 + 22 — 43 = 20$$

Так как $f(1) = g(1) = 20$, то $x = 1$ является корнем уравнения.

Ответ: $x = 1$.

б) $2 \sin \frac{\pi x}{2} — 2 \cos \pi x — 10x = x^5 — 54$;

Приводим уравнение к стандартному виду:

Исходное уравнение:

$$2 \sin \frac{\pi x}{2} — 2 \cos \pi x — 10x = x^5 — 54$$

Переносим все члены на одну сторону:

$$2 \sin \frac{\pi x}{2} — 2 \cos \pi x — 10x — x^5 + 54 = 0$$

Теперь у нас уравнение в стандартной форме для дальнейшего анализа.

Исследуем поведение функции:

Обозначим левую и правую части уравнения как функции $f(x)$ и $g(x)$:

$$f(x) = 2 \sin \frac{\pi x}{2} — 2 \cos \pi x — 10x, \quad g(x) = x^5 — 54$$

Рассмотрим производные этих функций.

• Производная функции $g(x)$:

  $$g'(x) = (x^5)’ — (54)’ = 5x^4$$

  Производная функции $g(x)$ всегда неотрицательна, так как $5x^4 \geq 0$ для всех значений $x$. Это говорит о том, что функция $g(x) = x^5 — 54$ является строго возрастающей на всей области определения, что также указывает на то, что у уравнения может быть только один корень.

• Производная функции $f(x)$:

  Рассмотрим производную левой части уравнения:

  $$f'(x) = 2 \left( \sin \frac{\pi x}{2} \right)’ — 2 (\cos \pi x)’ — (10x)’$$

  Используем производные для тригонометрических функций:

  $$\left( \sin \frac{\pi x}{2} \right)’ = \frac{\pi}{2} \cos \frac{\pi x}{2}, \quad (\cos \pi x)’ = -\pi \sin \pi x, \quad (10x)’ = 10$$

  Таким образом, производная функции $f(x)$ будет:

  $$f'(x) = 2 \cdot \frac{\pi}{2} \cos \frac{\pi x}{2} + 2\pi \sin \pi x — 10 = \pi \cos \frac{\pi x}{2} + 2\pi \sin \pi x — 10$$

  Мы видим, что производная зависит от $\cos \frac{\pi x}{2}$ и $\sin \pi x$, которые колеблются между -1 и 1. Для $x = 0$, мы получаем:

  $$f'(0) = \pi \cos 0 + 2\pi \sin 0 — 10 = \pi + 0 — 10 \approx 3.14 — 10 = -6.86$$

  Это значение отрицательно, что говорит о том, что функция $f(x)$ убывает в окрестности $x = 0$.

Метод подбора:

Подставим $x = 2$ в обе функции для нахождения решения.

• Подставим $x = 2$ в $f(x)$:

  $$f(2) = 2 \sin \pi — 2 \cos 2\pi — 10 \cdot 2 = 0 — 2 — 20 = -22$$

• Подставим $x = 2$ в $g(x)$:

  $$g(2) = 2^5 — 54 = 32 — 54 = -22$$

Так как $f(2) = g(2) = -22$, то $x = 2$ является корнем уравнения.

Ответ: $x = 2$.