ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 44.72 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Докажите тождество:

а) $\arcsin x = \frac{\pi}{2} — \arccos x$;

б) $\arctg x + \arcctg x = \frac{\pi}{2}$

а) $\arcsin x = \frac{\pi}{2} — \arccos x$;

$$\arcsin x + \arccos x = \frac{\pi}{2};$$

Функция постоянна на всей числовой прямой:

$$f'(x) = (\arcsin x)’ + (\arccos x)’ = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} — \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} = 0;$$

Значение функции:

$$f(0) = \arcsin 0 + \arccos 0 = 0 + \frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{2};$$

Тождество доказано.

б) $\arctg x + \arcctg x = \frac{\pi}{2}$;

Функция постоянна на всей числовой прямой:

$$f'(x) = (\arctg x)’ + (\arcctg x)’ = \frac{1}{1+x^2} — \frac{1}{1+x^2} = 0;$$

Значение функции:

$$f(0) = \arctg 0 + \arcctg 0 = 0 + \frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{2};$$

Тождество доказано.

а) $\arcsin x = \frac{\pi}{2} — \arccos x$;

Тождество:

$$\arcsin x + \arccos x = \frac{\pi}{2}$$

Доказательство, что функция постоянна на всей числовой прямой:

Рассмотрим функцию, которая будет разностью левой и правой части тождества:

$$f(x) = \arcsin x + \arccos x — \frac{\pi}{2}$$

Необходимо показать, что эта функция $f(x)$ является постоянной. Для этого найдем её производную:

$$f'(x) = (\arcsin x)’ + (\arccos x)’ — 0$$

Теперь найдем производные для каждой из этих функций. Известно, что:

$$(\arcsin x)’ = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}, \quad (\arccos x)’ = -\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$$

Подставляем в выражение для $f'(x)$:

$$f'(x) = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} — \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} = 0$$

Поскольку производная функции $f(x)$ равна нулю для всех $x$ на интервале $(-1, 1)$, это означает, что функция $f(x)$ является постоянной на всей числовой прямой.

Значение функции:

Теперь, чтобы найти конкретное значение функции, подставим $x = 0$:

$$f(0) = \arcsin 0 + \arccos 0 — \frac{\pi}{2}$$

Известно, что:

$$\arcsin 0 = 0, \quad \arccos 0 = \frac{\pi}{2}$$

Таким образом:

$$f(0) = 0 + \frac{\pi}{2} — \frac{\pi}{2} = 0$$

Поскольку $f(x)$ постоянна и $f(0) = 0$, то для всех $x$ на интервале $(-1, 1)$ выполняется:

$$\arcsin x + \arccos x = \frac{\pi}{2}$$

Тождество доказано.

б) $\arctg x + \arcctg x = \frac{\pi}{2}$;

Доказательство, что функция постоянна на всей числовой прямой:

Рассмотрим функцию, которая разностью левой и правой части тождества:

$$f(x) = \arctg x + \arcctg x — \frac{\pi}{2}$$

Необходимо доказать, что эта функция $f(x)$ является постоянной. Для этого найдем её производную:

$$f'(x) = (\arctg x)’ + (\arcctg x)’ — 0$$

Теперь найдем производные для каждой из этих функций. Известно, что:

$$(\arctg x)’ = \frac{1}{1+x^2}, \quad (\arcctg x)’ = -\frac{1}{1+x^2}$$

Подставляем эти производные в выражение для $f'(x)$:

$$f'(x) = \frac{1}{1+x^2} — \frac{1}{1+x^2} = 0$$

Поскольку производная функции $f(x)$ равна нулю для всех $x$, это означает, что функция $f(x)$ является постоянной.

Значение функции:

Чтобы найти конкретное значение функции, подставим $x = 0$:

$$f(0) = \arctg 0 + \arcctg 0 — \frac{\pi}{2}$$

Известно, что:

$$\arctg 0 = 0, \quad \arcctg 0 = \frac{\pi}{2}$$

Таким образом:

$$f(0) = 0 + \frac{\pi}{2} — \frac{\pi}{2} = 0$$

Поскольку $f(x)$ постоянна и $f(0) = 0$, для всех $x$ на всей числовой прямой выполняется:

$$\arctg x + \arcctg x = \frac{\pi}{2}$$

Тождество доказано.