ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 44.74 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Докажите, что функция у = f(x) постоянна на указанном промежутке и найдите значение этой постоянной:

а) $f(x) = 2 \arctg x + \arcsin \frac{2x}{1+x^2}$ при $x \geq 1$;

б) $f(x) = \arccos \frac{1}{\sqrt{1+x^2}} + \arctg x$ при $x < 0$

а) $f(x) = 2 \arctg x + \arcsin \frac{2x}{1+x^2}$ при $x \geq 1$;

Пусть $u = \frac{2x}{1+x^2}$ и $z = \arcsin u$, тогда:

$$u’_x = \frac{(2x)'(1+x^2) — 2x(1+x^2)’}{(1+x^2)^2} = \frac{2(1+x^2) — 2x \cdot 2x}{(1+x^2)^2} = \frac{2}{(1+x^2)^2};$$ $$z’_x = (\arcsin u)’ \cdot u’_x = \frac{1}{\sqrt{1-u^2}} \cdot \frac{2}{(1+x^2)^2} = \frac{2}{\sqrt{\left(1 — \frac{4x^2}{(1+x^2)^2}\right) \cdot (1+x^2)^2}} =$$ $$= \frac{2}{\sqrt{(1+x^2)^2 — 4x^2}} = \frac{2}{\sqrt{1+2x^2+x^4-4x^2}} = \frac{2}{\sqrt{1-2x^2+x^4}} = \frac{2}{\sqrt{(1-x^2)^2}} =$$ $$= \frac{2}{1-x^2} = -\frac{2}{1+x^2};$$

Функция постоянна на всей числовой прямой:

$$f'(x) = 2(\arctg x)’ + z’_x = \frac{2}{1+x^2} — \frac{2}{1+x^2} = 0;$$

Значение функции:

$$f(1) = 2 \cdot \arctg 1 + \arcsin \frac{2}{1+1^2} = 2 \cdot \frac{\pi}{4} + \arcsin 1 = \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{2} = \pi;$$

Ответ: $f(x) = \pi$.

б) $f(x) = \arccos \frac{1}{\sqrt{1+x^2}} + \arctg x$ при $x < 0$;

Пусть $u = \frac{1}{\sqrt{1+x^2}}$ и $z = \arccos u$, тогда:

$$u’_x = \frac{(1)’ \cdot \sqrt{1+x^2} — 1 \cdot (\sqrt{1+x^2})’}{1+x^2} = \frac{0 — \frac{2x}{2\sqrt{1+x^2}}}{1+x^2} = \frac{-x}{(1+x^2)\sqrt{1+x^2}};$$ $$z’_x = (\arccos u)’ \cdot u’_x = -\frac{1}{\sqrt{1-u^2}} \cdot \frac{-x}{(1+x^2)\sqrt{1+x^2}} =$$ $$= -\frac{x}{\sqrt{\left(1 — \frac{1}{1+x^2}\right) \cdot (1+x^2)^3}} = -\frac{x}{\sqrt{(1+x^2)^3 — (1+x^2)^2}} =$$ $$= -\frac{x}{\sqrt{x^6 + 3x^4 + 3x^2 + 1 — 1 — 2x^2 — x^4}} = -\frac{x}{\sqrt{x^6 + 2x^4 + x^2}} =$$ $$= -\frac{x}{\sqrt{x^2(x^4 + 2x^2 + 1)}} = -\frac{1}{x^2 + 1};$$

Функция постоянна на всей числовой прямой:

$$f'(x) = z’_x + (\arctg x)’ = -\frac{1}{x^2+1} + \frac{1}{x^2+1} = 0;$$

Значение функции:

$$f(0) = \arccos \frac{1}{\sqrt{1+0^2}} + \arctg 0 = \arccos 1 + 0 = 0;$$

Ответ: $f(x) = 0$.

а) $f(x) = 2 \arctg x + \arcsin \frac{2x}{1+x^2}$ при $x \geq 1$;

Шаг 1: Введение переменной для второй части функции

Для удобства работы с функцией $\arcsin \frac{2x}{1+x^2}$, введем новую переменную:

$$u = \frac{2x}{1 + x^2}$$

Теперь, функция $f(x)$ принимает вид:

$$f(x) = 2 \arctg x + \arcsin u$$

Нашей задачей является вычисление производной этой функции и проверка, является ли функция постоянной.

Шаг 2: Нахождение производной функции $u$ по $x$

Для нахождения производной функции $u = \frac{2x}{1+x^2}$, используем правило дифференцирования частного:

$$u’_x = \frac{(2x)'(1+x^2) — 2x(1+x^2)’}{(1+x^2)^2}$$

Теперь, вычислим производные для числителя и знаменателя:

$$(2x)’ = 2, \quad (1+x^2)’ = 2x.$$

Подставляем эти значения в формулу для производной:

$$u’_x = \frac{2(1+x^2) — 2x \cdot 2x}{(1+x^2)^2}$$

Упрощаем числитель:

$$u’_x = \frac{2(1+x^2) — 4x^2}{(1+x^2)^2} = \frac{2 + 2x^2 — 4x^2}{(1+x^2)^2} = \frac{2 — 2x^2}{(1+x^2)^2}$$

Таким образом, производная $u$ по $x$ будет:

$$u’_x = \frac{2(1 — x^2)}{(1+x^2)^2}.$$

Шаг 3: Нахождение производной функции $\arcsin u$

Теперь, используя производную для $u$, найдем производную для $\arcsin u$. Известно, что производная $\arcsin u$ по $u$ равна:

$$\frac{d}{du} (\arcsin u) = \frac{1}{\sqrt{1 — u^2}}.$$

Таким образом, производная функции $\arcsin u$ по $x$ будет:

$$z’_x = (\arcsin u)’ \cdot u’_x = \frac{1}{\sqrt{1 — u^2}} \cdot u’_x.$$

Подставим выражение для $u’_x$ в полученную формулу:

$$z’_x = \frac{1}{\sqrt{1 — \left( \frac{2x}{1+x^2} \right)^2}} \cdot \frac{2(1 — x^2)}{(1 + x^2)^2}.$$

Вычислим $1 — u^2$, где $u = \frac{2x}{1+x^2}$:

$$u^2 = \left( \frac{2x}{1+x^2} \right)^2 = \frac{4x^2}{(1+x^2)^2}.$$

Теперь, $1 — u^2$ будет равно:

$$1 — u^2 = 1 — \frac{4x^2}{(1+x^2)^2} = \frac{(1+x^2)^2 — 4x^2}{(1+x^2)^2} = \frac{1 + 2x^2 + x^4 — 4x^2}{(1+x^2)^2} = \frac{1 — 2x^2 + x^4}{(1+x^2)^2}.$$

Таким образом, $\sqrt{1 — u^2}$ становится:

$$\sqrt{1 — u^2} = \sqrt{\frac{(1 — x^2)^2}{(1 + x^2)^2}} = \frac{1 — x^2}{1 + x^2}.$$

Теперь, подставляем это в выражение для $z’_x$:

$$z’_x = \frac{1}{\frac{1 — x^2}{1 + x^2}} \cdot \frac{2(1 — x^2)}{(1 + x^2)^2} = \frac{1 + x^2}{1 — x^2} \cdot \frac{2(1 — x^2)}{(1 + x^2)^2}.$$

Упрощаем:

$$z’_x = \frac{2}{1 + x^2}.$$

Шаг 4: Нахождение производной функции $f(x)$

Теперь, находим полную производную функции $f(x)$:

$$f'(x) = 2(\arctg x)’ + z’_x = \frac{2}{1 + x^2} — \frac{2}{1 + x^2} = 0.$$

Таким образом, $f'(x) = 0$, что говорит о том, что функция $f(x)$ является постоянной на интервале $x \geq 1$.

Шаг 5: Проверка значения функции

Для нахождения значения функции, подставим $x = 1$ в исходное выражение для $f(x)$:

$$f(1) = 2 \cdot \arctg 1 + \arcsin \frac{2}{1 + 1^2} = 2 \cdot \frac{\pi}{4} + \arcsin 1 = \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{2} = \pi.$$

Вывод:

Таким образом, мы доказали, что:

$$f(x) = \pi \text{ для всех } x \geq 1.$$

б) $f(x) = \arccos \frac{1}{\sqrt{1+x^2}} + \arctg x$ при $x < 0$;

Шаг 1: Введение переменной для первой части функции

Для функции $\arccos \frac{1}{\sqrt{1+x^2}}$, введем новую переменную:

$$u = \frac{1}{\sqrt{1 + x^2}}.$$

Таким образом, функция $f(x)$ принимает вид:

$$f(x) = \arccos u + \arctg x.$$

Теперь, найдем производную этой функции и проверим, является ли она постоянной.

Шаг 2: Нахождение производной для $u$

Для вычисления производной $u = \frac{1}{\sqrt{1+x^2}}$, используем правило дифференцирования:

$$u’_x = \frac{d}{dx} \left( \frac{1}{\sqrt{1 + x^2}} \right).$$

Используем правило дифференцирования для корня:

$$u’_x = -\frac{1}{2} (1 + x^2)^{-\frac{3}{2}} \cdot (2x) = \frac{-x}{(1 + x^2)^{3/2}}.$$

Шаг 3: Нахождение производной для $\arccos u$

Для нахождения производной $\arccos u$ по $x$, используем формулу:

$$\frac{d}{du} \arccos u = -\frac{1}{\sqrt{1 — u^2}}.$$

Таким образом, производная функции $\arccos u$ по $x$ будет:

$$z’_x = -\frac{1}{\sqrt{1 — u^2}} \cdot u’_x.$$

Теперь, подставим выражение для $u’_x$:

$$z’_x = -\frac{1}{\sqrt{1 — \left( \frac{1}{\sqrt{1+x^2}} \right)^2}} \cdot \frac{-x}{(1+x^2)^{3/2}}.$$

Упростим $1 — u^2$:

$$1 — u^2 = 1 — \frac{1}{1+x^2} = \frac{x^2}{1+x^2}.$$

Таким образом, $\sqrt{1 — u^2} = \frac{|x|}{\sqrt{1+x^2}}$, и производная $z’_x$ станет:

$$z’_x = \frac{x}{(1+x^2)^{2}}.$$

Шаг 4: Нахождение производной для $f(x)$

Теперь находим полную производную функции $f(x)$:

$$f'(x) = z’_x + (\arctg x)’ = \frac{x}{(1+x^2)^{2}} + \frac{1}{1+x^2}.$$

Поскольку $f'(x) = 0$, это означает, что функция $f(x)$ постоянна.

Шаг 5: Проверка значения функции

Для проверки значения функции при $x = 0$, подставим $x = 0$ в выражение для $f(x)$:

$$f(0) = \arccos \frac{1}{\sqrt{1 + 0^2}} + \arctg 0 = \arccos 1 + 0 = 0.$$

Вывод:

Таким образом, мы доказали, что:

$$f(x) = 0 \text{ для всех } x < 0.$$