ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 44.75 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Докажите неравенство:

а) $x^2 — x^3 < \frac{1}{6}$, если $x > \frac{2}{3}$;

б) $2\sqrt{x} \geq 3 — \frac{1}{x}$, если $x > 0$

а) $x^2 — x^3 < \frac{1}{6}$, если $x > \frac{2}{3}$;

$f'(x) = (x^2)’ — (x^3)’ = 2x — 3x^2$;

Промежуток убывания функции:

$$2x — 3x^2 \leq 0;$$ $$x(2 — 3x) \leq 0;$$ $$x \leq 0 \text{ или } x \geq \frac{2}{3};$$

Значение функции в точке максимума:

$$f\left(\frac{2}{3}\right) = \left(\frac{2}{3}\right)^2 — \left(\frac{2}{3}\right)^3 = \frac{4}{9} — \frac{8}{27} = \frac{12 — 8}{27} = \frac{4}{27} < \frac{1}{6};$$

Неравенство доказано.

б) $2\sqrt{x} \geq 3 — \frac{1}{x}$, если $x > 0$;

$$2\sqrt{x} + \frac{1}{x} \geq 3;$$ $$f'(x) = 2(\sqrt{x})’ + \left(\frac{1}{x}\right)’ = \frac{2}{2\sqrt{x}} — \frac{1}{x^2} = \frac{1}{\sqrt{x}} — \frac{1}{x^2};$$

Промежуток возрастания функции:

$$\frac{1}{\sqrt{x}} — \frac{1}{x^2} \geq 0 \quad (x > 0);$$ $$\frac{x^2 — \sqrt{x}}{\sqrt{x} \cdot x^2} \geq 0;$$ $$x^2 — \sqrt{x} \geq 0;$$ $$x^4 — x \geq 0;$$ $$x(x^3 — 1) \geq 0;$$ $$x^3 — 1 \geq 0;$$ $$x^3 \geq 1, \text{отсюда } x \geq 1;$$

Значение функции в точке минимума:

$$f(1) = 2\sqrt{1} + \frac{1}{1} = 2 + 1 = 3;$$

Неравенство доказано.

а) $x^2 — x^3 < \frac{1}{6}$, если $x > \frac{2}{3}$;

Мы рассматриваем неравенство:

$$x^2 — x^3 < \frac{1}{6}.$$

Для удобства, введем функцию:

$$f(x) = x^2 — x^3.$$

Нам нужно изучить, при каких значениях $x$ выполняется неравенство $f(x) < \frac{1}{6}$, когда $x > \frac{2}{3}$.

Шаг 1: Нахождение производной функции

Для того чтобы понять, как ведет себя функция $f(x) = x^2 — x^3$, найдем ее производную:

$$f'(x) = (x^2)’ — (x^3)’ = 2x — 3x^2.$$

Теперь, проанализируем производную функции.

Шаг 2: Промежуток убывания функции

Чтобы понять, на каком промежутке функция убывает или возрастает, найдем, где ее производная $f'(x)$ равна нулю.

Решаем неравенство:

$$2x — 3x^2 \leq 0.$$

Переносим все члены на одну сторону:

$$3x^2 — 2x \geq 0.$$

Теперь извлекаем общий множитель:

$$x(3x — 2) \geq 0.$$

Это неравенство имеет два корня: $x = 0$ и $x = \frac{2}{3}$.

Теперь рассмотрим знаки выражения на интервалах $(-\infty, 0)$, $(0, \frac{2}{3})$, и $(\frac{2}{3}, +\infty)$.

1. Для $x < 0$ оба множителя $x$ и $(3x — 2)$ отрицательные, поэтому произведение положительное.
2. Для $0 < x < \frac{2}{3}$ первый множитель $x$ положительный, а второй $(3x — 2)$ отрицательный, поэтому произведение отрицательное.
3. Для $x > \frac{2}{3}$ оба множителя положительные, поэтому произведение положительное.

Таким образом, функция убывает на интервале $(0, \frac{2}{3})$, а на интервале $(\frac{2}{3}, +\infty)$ функция возрастает.

Шаг 3: Значение функции в точке максимума

Теперь, находим значение функции в точке $x = \frac{2}{3}$, чтобы убедиться, что $f(x)$ действительно меньше $\frac{1}{6}$ на интервале $x > \frac{2}{3}$.

Подставляем $x = \frac{2}{3}$ в выражение для функции $f(x)$:

$$f\left(\frac{2}{3}\right) = \left( \frac{2}{3} \right)^2 — \left( \frac{2}{3} \right)^3 = \frac{4}{9} — \frac{8}{27}.$$

Приводим к общему знаменателю:

$$f\left(\frac{2}{3}\right) = \frac{12}{27} — \frac{8}{27} = \frac{4}{27}.$$

Проверим, выполняется ли неравенство $\frac{4}{27} < \frac{1}{6}$:

$$\frac{4}{27} < \frac{1}{6} \quad \text{(это верно, так как } \frac{4}{27} \approx 0.148 \text{ и } \frac{1}{6} \approx 0.167\text{)}.$$

Таким образом, неравенство выполняется.

Шаг 4: Вывод

Мы доказали, что:

$$f(x) = x^2 — x^3 < \frac{1}{6}, \quad \text{если} \quad x > \frac{2}{3}.$$

б) $2\sqrt{x} \geq 3 — \frac{1}{x}$, если $x > 0$;

Исходное неравенство:

$$2\sqrt{x} + \frac{1}{x} \geq 3.$$

Для удобства, определим функцию $f(x)$:

$$f(x) = 2\sqrt{x} + \frac{1}{x}.$$

Нам нужно исследовать, при каких значениях $x$ выполняется неравенство $f(x) \geq 3$ при $x > 0$.

Шаг 1: Нахождение производной функции

Для того чтобы понять, как ведет себя функция $f(x) = 2\sqrt{x} + \frac{1}{x}$, найдем ее производную:

$$f'(x) = 2(\sqrt{x})’ + \left(\frac{1}{x}\right)’.$$

Вычислим производные для каждой из частей:

$$(\sqrt{x})’ = \frac{1}{2\sqrt{x}}, \quad \left( \frac{1}{x} \right)’ = -\frac{1}{x^2}.$$

Подставляем в выражение для $f'(x)$:

$$f'(x) = 2 \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}} — \frac{1}{x^2} = \frac{1}{\sqrt{x}} — \frac{1}{x^2}.$$

Шаг 2: Промежуток возрастания функции

Теперь, найдем, на каком промежутке функция возрастает, для этого решим неравенство:

$$\frac{1}{\sqrt{x}} — \frac{1}{x^2} \geq 0.$$

Приводим к общему знаменателю:

$$\frac{x^2 — \sqrt{x}}{\sqrt{x} \cdot x^2} \geq 0.$$

Решаем неравенство для числителя:

$$x^2 — \sqrt{x} \geq 0.$$

Умножаем обе части на $x^2$, чтобы избавиться от корня:

$$x^4 — x \geq 0.$$

Теперь решаем неравенство:

$$x(x^3 — 1) \geq 0.$$

Это неравенство выполняется, если $x^3 — 1 \geq 0$, что эквивалентно $x \geq 1$.

Шаг 3: Значение функции в точке минимума

Теперь, вычислим значение функции в точке $x = 1$, чтобы проверить, что $f(x) \geq 3$:

$$f(1) = 2\sqrt{1} + \frac{1}{1} = 2 + 1 = 3.$$

Шаг 4: Вывод

Мы доказали, что:

$$2\sqrt{x} + \frac{1}{x} \geq 3, \quad \text{если} \quad x \geq 1.$$