ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 44.76 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Докажите неравенство:

а) $\arcsin x > x$, если $0 < x < 1$;

б) $\arctg x > x — \frac{x^3}{3}$, если $x > 0$

а) $\arcsin x > x$, если $0 < x < 1$;

$$\arcsin x — x > 0$$

$f'(x) = (\arcsin x)’ — (x)’ = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} — 1$;

$-1 \leq x \leq 1$, тогда $0 < \sqrt{1-x^2} \leq 1$;

$$\frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \geq 1, \text{ значит } f'(x) \geq 0 \text{ при любом значении } x.$$

Минимальное значение функции на участке $x > 0$:

$$f(0) = \arcsin 0 — 0 = 0;$$

Неравенство доказано.

б) $\arctg x > x — \frac{x^3}{3}$, если $x > 0$;

$$\arctg x — x + \frac{x^3}{3} > 0$$

$f'(x) = (\arctg x)’ — (x)’ + \frac{1}{3}(x^3)’ = \frac{1}{1+x^2} — 1 + x^2 =$

$$= \frac{1 — (1+x^2) + x^2(1+x^2)}{1+x^2} = \frac{1 — 1 — x^2 + x^2 + x^4}{1+x^2} = \frac{x^4}{1+x^2};$$

$x^4 \geq 0$ и $x^2 \geq 0$, значит $f'(x) \geq 0$ при любом значении $x$;

Минимальное значение функции на участке $x > 0$:

$$f(0) = \arctg 0 — 0 + \frac{0^3}{3} = 0;$$

Неравенство доказано.

а) $\arcsin x > x$, если $0 < x < 1$;

Необходимо доказать, что:

$$\arcsin x — x > 0 \quad \text{для} \quad 0 < x < 1.$$

Для этого определим функцию:

$$f(x) = \arcsin x — x.$$

Наша цель — доказать, что $f(x) > 0$ на интервале $(0, 1)$. Для этого найдем производную функции $f(x)$ и исследуем ее поведение.

Шаг 1: Нахождение производной функции $f(x)$

Найдем производную функции $f(x) = \arcsin x — x$:

$$f'(x) = (\arcsin x)’ — (x)’ = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} — 1.$$

Теперь рассмотрим знак производной:

$$f'(x) = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} — 1.$$

Так как $0 < x < 1$, то $\sqrt{1 — x^2}$ всегда положительное и строго меньше 1. Следовательно, $\frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \geq 1$, и, следовательно, $f'(x) \geq 0$.

Это означает, что функция $f(x)$ является неубывающей на интервале $(0, 1)$.

Шаг 2: Анализ функции в точке $x = 0$

Чтобы определить, при каких значениях $x$ функция $f(x)$ положительна, вычислим значение функции $f(x)$ при $x = 0$:

$$f(0) = \arcsin 0 — 0 = 0 — 0 = 0.$$

Таким образом, $f(x)$ достигает минимального значения в точке $x = 0$, равного 0.

Шаг 3: Поведение функции на интервале $0 < x < 1$

Так как $f'(x) \geq 0$, а $f(0) = 0$, это означает, что функция $f(x)$ возрастает на интервале $(0, 1)$. Следовательно, для всех $x > 0$ на интервале $0 < x < 1$ выполняется:

$$f(x) = \arcsin x — x > 0.$$

Таким образом, неравенство доказано.

б) $\arctg x > x — \frac{x^3}{3}$, если $x > 0$;

Необходимо доказать, что:

$$\arctg x — x + \frac{x^3}{3} > 0 \quad \text{для} \quad x > 0.$$

Для этого определим функцию:

$$f(x) = \arctg x — x + \frac{x^3}{3}.$$

Наша цель — доказать, что $f(x) > 0$ для $x > 0$. Для этого найдем производную функции $f(x)$ и исследуем ее поведение.

Шаг 1: Нахождение производной функции $f(x)$

Найдем производную функции $f(x) = \arctg x — x + \frac{x^3}{3}$:

$$f'(x) = (\arctg x)’ — (x)’ + \frac{1}{3}(x^3)’ = \frac{1}{1+x^2} — 1 + x^2.$$

Упростим это выражение:

$$f'(x) = \frac{1}{1+x^2} — 1 + x^2 = \frac{1 — (1 + x^2) + x^2(1 + x^2)}{1 + x^2}.$$

Преобразуем числитель:

$$f'(x) = \frac{1 — 1 — x^2 + x^2 + x^4}{1 + x^2} = \frac{x^4}{1 + x^2}.$$

Так как $x^4 \geq 0$ и $1 + x^2 > 0$ для всех $x > 0$, то $f'(x) \geq 0$. Это означает, что функция $f(x)$ является неубывающей на интервале $x > 0$.

Шаг 2: Анализ функции в точке $x = 0$

Теперь вычислим значение функции $f(x)$ при $x = 0$:

$$f(0) = \arctg 0 — 0 + \frac{0^3}{3} = 0 — 0 + 0 = 0.$$

Таким образом, $f(x)$ достигает минимального значения в точке $x = 0$, равного 0.

Шаг 3: Поведение функции на интервале $x > 0$

Так как $f'(x) \geq 0$, а $f(0) = 0$, это означает, что функция $f(x)$ возрастает на интервале $x > 0$. Следовательно, для всех $x > 0$ на интервале $(0, +\infty)$ выполняется:

$$f(x) = \arctg x — x + \frac{x^3}{3} > 0.$$

Таким образом, неравенство доказано.