ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 44.8 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

а) Изобразите эскиз графика производной функции $y=f(x)$, если известно, что данная функция возрастает на $(-\mathrm{\infty };1)$ и убывает на промежутке $(1;+\mathrm{\infty })$.

б) Изобразите эскиз графика производной функции $y=f(x)$, если известно, что данная функция убывает на луче $(-\mathrm{\infty };-1]$, возрастает на отрезке $[-1;3]$, убывает на луче $[3;+\mathrm{\infty })$.

а) Эскиз графика производной функции $f(x)$ возрастающей на $(-\mathrm{\infty };1)$ и убывающей на $(1;+\mathrm{\infty })$:

б) Эскиз графика производной функции $f(x)$ возрастающей на $[-1;3]$ и убывающей на $(-\mathrm{\infty };-1]\cup [3;+\mathrm{\infty })$:

Прежде чем решать, напомним ключевое:

• Если $f(x)$ возрастает на интервале, то $f^{\mathrm{\prime }}(x)>0$ на этом интервале.
• Если $f(x)$ убывает, то $f^{\mathrm{\prime }}(x)<0$.
• Если в точке функция переходит от возрастания к убыванию (или наоборот), это указывает на локальный экстремум функции, а значит, $f^{\mathrm{\prime }}(x)=0$ в этой точке.

а)

Эскиз графика производной функции $f(x)$, возрастающей на $(-\mathrm{\infty };1)$ и убывающей на $(1;+\mathrm{\infty })$.

Шаг 1: Анализ поведения функции $f(x)$

• $f(x)$ возрастает на $(-\mathrm{\infty };1)$ → значит, $f^{\mathrm{\prime }}(x)>0$ на $(-\mathrm{\infty };1)$
• $f(x)$ убывает на $(1;+\mathrm{\infty })$ → значит, $f^{\mathrm{\prime }}(x)<0$ на $(1;+\mathrm{\infty })$
• В точке $x=1$ происходит переход от возрастания к убыванию, значит:
  • $f^{\mathrm{\prime }}(1)=0$
  • Это локальный максимум функции $f(x)$

Шаг 2: Построение графика производной $f^{\mathrm{\prime }}(x)$

1. График $f^{\mathrm{\prime }}(x)$ положителен на $(-\mathrm{\infty };1)$
2. График $f^{\mathrm{\prime }}(x)=0$ в точке $x=1$
3. График $f^{\mathrm{\prime }}(x)<0$ на $(1;+\mathrm{\infty })$

Это означает, что график производной проходит через точку (1; 0), находится выше оси x слева от неё и ниже оси x справа.

б)

Эскиз графика производной функции $f(x)$, возрастающей на $[-1;3]$ и убывающей на $(-\mathrm{\infty };-1]\cup [3;+\mathrm{\infty })$.

Шаг 1: Анализ поведения функции $f(x)$

• $f(x)$ убывает на $(-\mathrm{\infty };-1]$ → $f^{\mathrm{\prime }}(x)<0$ на этом луче
• $f(x)$ возрастает на $[-1;3]$ → $f^{\mathrm{\prime }}(x)>0$ на этом отрезке
• $f(x)$ убывает на $[3;+\mathrm{\infty })$ → $f^{\mathrm{\prime }}(x)<0$ на этом луче

Переходы:

• В точке $x=-1$: переход от убывания к возрастанию → минимум → $f^{\mathrm{\prime }}(-1)=0$
• В точке $x=3$: переход от возрастания к убыванию → максимум → $f^{\mathrm{\prime }}(3)=0$

Шаг 2: Построение графика производной $f^{\mathrm{\prime }}(x)$

1. На $(-\mathrm{\infty };-1)$: $f^{\mathrm{\prime }}(x)<0$
2. В точке $x=-1$: $f^{\mathrm{\prime }}(x)=0$
3. На $(-1;3)$: $f^{\mathrm{\prime }}(x)>0$
4. В точке $x=3$: $f^{\mathrm{\prime }}(x)=0$
5. На $(3;+\mathrm{\infty })$: $f^{\mathrm{\prime }}(x)<0$

То есть график производной:

• Отрицательный до $x=-1$
• Пересекает ось x в $x=-1$
• Положительный между $x=-1$ и $x=3$
• Пересекает ось x снова в $x=3$
• Отрицательный после $x=3$

Итог: